Calcolo Esempi

$y = θ^{2} (8 θ + 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = 8 θ + 4$ .

$θ^{2} \frac{d}{d θ} [8 θ + 4] + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 θ + 4$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [4]$ .

$θ^{2} (\frac{d}{d θ} [8 θ] + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $8 θ$ rispetto a $θ$ è $8 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$θ^{2} (8 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$θ^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$θ^{2} (8 + \frac{d}{d θ} [4]) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $4$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$θ^{2} (8 + 0) + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $8$ e $0$ .

$θ^{2} \cdot 8 + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $8$ alla sinistra di $θ^{2}$ .

$8 \cdot θ^{2} + (8 θ + 4) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 θ^{2} + (8 θ + 4) (2 θ)$

Passaggio 1.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $8 θ + 4$ .

$8 θ^{2} + 2 \cdot (8 θ + 4) θ$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 θ^{2} + (2 (8 θ) + 2 \cdot 4) θ$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 θ^{2} + 2 (8 θ) θ + 2 \cdot 4 θ$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$8 θ^{2} + 16 θ \cdot θ + 2 \cdot 4 θ$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ) + 2 \cdot 4 θ$

Passaggio 1.3.3.3

Eleva $θ$ alla potenza di $1$ .

$8 θ^{2} + 16 (θ^{1} θ^{1}) + 2 \cdot 4 θ$

Passaggio 1.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 θ^{2} + 16 θ^{1 + 1} + 2 \cdot 4 θ$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 2 \cdot 4 θ$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 θ^{2} + 16 θ^{2} + 8 θ$

Passaggio 1.3.3.7

Somma $8 θ^{2}$ e $16 θ^{2}$ .

$f' (θ) = 24 θ^{2} + 8 θ$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 θ^{2} + 8 θ$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$ .

$\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [24 θ^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $24 θ^{2}$ rispetto a $θ$ è $24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$24 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$48 θ + \frac{d}{d θ} [8 θ]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [8 θ]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $8 θ$ rispetto a $θ$ è $8 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$48 θ + 8 \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$48 θ + 8 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (θ) = 48 θ + 8$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $48 θ + 8$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [48 θ] + \frac{d}{d θ} [8]$ .

$\frac{d}{d θ} [48 θ] + \frac{d}{d θ} [8]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [48 θ]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $48 θ$ rispetto a $θ$ è $48 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$48 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [8]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [8]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $48$ per $1$ .

$48 + \frac{d}{d θ} [8]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $8$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$48 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $48$ e $0$ .

$f''' (θ) = 48$