Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = \ln (x)$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[1, 8]$ o no, trova il dominio di $f (x) = \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x > 0$

Passaggio 2.1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[1, 8]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(1, 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per determinare se la funzione è continua in $(1, 8)$ o no, trova il dominio di $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 4.1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(1, 8)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(1, 8)$ perché la derivata è continua su $(1, 8)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[1, 8]$ e differenziabile su $(1, 8)$ .

$f (x)$ è continua su $[1, 8]$ e differenziabile su $(1, 8)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[1, 8]$ .

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[1, 8]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = \ln (8)$

Passaggio 8.2

La risposta finale è $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$

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Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

Passaggio 9.1.2

Somma $\ln (8)$ e $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

Passaggio 9.1.5

Riscrivi $\frac{\ln (8)}{7}$ come $\frac{1}{7} \ln (8)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

Passaggio 9.1.6

Semplifica $\frac{1}{7} \ln (8)$ spostando $\frac{1}{7}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 9.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 9.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ per $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Passaggio 9.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Riordina i fattori in $\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ .

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Passaggio 9.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi l'equazione come $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ .

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

Passaggio 9.4.2

Dividi per $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ ciascun termine in $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Dividi per $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ ciascun termine in $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ .

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 9.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 8$ .

C'è una tangente con $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 1$ e $b = 8$

Passaggio 11