Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (t)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (t) = \int \frac{3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}} d t$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Scomponi $t^{2}$ da $3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $t^{2}$ da $3 t^{4}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2}) - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}} d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $t^{2}$ da $- t^{3}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2}) + t^{2} (- t) + 6 t^{2}}{t^{4}} d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $t^{2}$ da $6 t^{2}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2}) + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 6}{t^{4}} d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} (3 t^{2}) + t^{2} (- t)$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t) + t^{2} \cdot 6}{t^{4}} d t$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} (3 t^{2} - t) + t^{2} \cdot 6$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t + 6)}{t^{4}} d t$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{4}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t + 6)}{t^{2} t^{2}} d t$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t + 6)}{t^{2} t^{2}} d t$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{3 t^{2} - t + 6}{t^{2}} d t$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $t^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (3 t^{2} - t + 6) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 t^{2} - t + 6) t^{2 \cdot - 1} d t$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (3 t^{2} - t + 6) t^{- 2} d t$

Passaggio 5

Espandi $(3 t^{2} - t + 6) t^{- 2}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (3 t^{2} - t) t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 3 t^{2} t^{- 2} - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 t^{2 - 2} - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int 3 t^{0} - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\int 3 - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.7

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int 3 - (t \cdot t^{- 2}) + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.8

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\int 3 - (t^{1} t^{- 2}) + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 - t^{1 - 2} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.10

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int 3 - t^{- 1} + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.11

Riordina $3$ e $- t^{- 1}$ .

$\int - t^{- 1} + 3 + 6 t^{- 2} d t$

Passaggio 5.12

Sposta $3$ .

$\int - t^{- 1} + 6 t^{- 2} + 3 d t$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - t^{- 1} d t + \int 6 t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int t^{- 1} d t + \int 6 t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Passaggio 8

L'integrale di $t^{- 1}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$- (\ln (| t |) + C) + \int 6 t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Passaggio 9

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| t |) + C) + 6 \int t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{- 2}$ rispetto a $t$ è $- t^{- 1}$ .

$- (\ln (| t |) + C) + 6 (- t^{- 1} + C) + \int 3 d t$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$- (\ln (| t |) + C) + 6 (- t^{- 1} + C) + 3 t + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \ln (| t |) - \frac{6}{t} + 3 t + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (t) = \frac{3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}}$ .

$F (t) =$ $- \ln (| t |) - \frac{6}{t} + 3 t + C$