Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{2} + 5 x + 9)$ , $[- 3, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 5 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.1.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.1.2.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + 0)$

Passaggio 1.1.1.2.7

Somma $2 x + 5$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Moltiplica $2 x + 5$ per $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x + 5 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 5$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\ln (x^{2} + 5 x + 9)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - \frac{5}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $- \frac{5}{2}$ a $x$ .

$\ln ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\ln (1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\ln (\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\ln (\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.6

Moltiplica $5 (- \frac{5}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.6.2

$- 5$ e $\frac{5}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.6.3

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{25}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{25}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Scrivi $9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})$

Passaggio 1.4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $- 25$ per $2$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 36}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1

Sottrai $50$ da $25$ .

$\ln (\frac{- 25 + 36}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Somma $- 25$ e $36$ .

$\ln (\frac{11}{4})$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\ln ({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 9)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\ln (9 + 5 (- 3) + 9)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\ln (9 - 15 + 9)$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Sottrai $15$ da $9$ .

$\ln (- 6 + 9)$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $- 6$ e $9$ .

$\ln (3)$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\ln ({(1)}^{2} + 5 (1) + 9)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (1 + 5 (1) + 9)$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\ln (1 + 5 + 9)$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Somma $1$ e $5$ .

$\ln (6 + 9)$

Passaggio 2.2.2.2.2

Somma $6$ e $9$ .

$\ln (15)$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 3, \ln (3)), (1, \ln (15))$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, \ln (15))$

Minimo assoluto: $(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Passaggio 4