Calcolo Esempi

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Passaggio 3.5.3

Riordina i fattori in $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $x$ con $0$ e $y$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

Passaggio 7

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

Passaggio 7.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Passaggio 7.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $8$ per $1$ .

$0 + 8$

Passaggio 7.2

Somma $0$ e $8$ .

$8$