Calcolo Esempi

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Scrivi $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ come funzione.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.2

$\frac{2}{x}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3.2.5

Dividi $2 x$ per $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7.2

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Passaggio 2.11.3

Riordina i termini.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x \ln (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.11

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.12.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.13

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.14

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.14.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $\ln (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $10$ e $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5.2

$\frac{2}{x}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.5.3.2.5

Dividi $2 x$ per $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.7.2

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.7.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Passaggio 5.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Passaggio 5.1.11.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Passaggio 5.1.11.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

Passaggio 6.3

Dividi per $10 x$ ciascun termine in $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $10 x$ ciascun termine in $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ .

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Dividi $\ln (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $10 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Passaggio 6.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Passaggio 6.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 6.3.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.5

Riscrivi $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

Passaggio 6.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.6.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.2.1

Semplifica $2 e^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.6.3.2.1.2

$2$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta l'argomento in $\ln (\frac{x}{2})$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{x}{2} \leq 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni lato per $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Passaggio 7.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x \leq 0 \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$x \leq 0$

Passaggio 7.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

Passaggio 10.1.2

Combina.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Passaggio 10.1.3

Riduci l'espressione $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Passaggio 10.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

Passaggio 10.1.4

Sposta $e^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

Passaggio 10.1.5

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ spostando $- \frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

Passaggio 10.1.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

Passaggio 10.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

Passaggio 10.1.8.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

Passaggio 10.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

Passaggio 10.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$5 \cdot - 1 + 15$

Passaggio 10.1.9

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 + 15$

Passaggio 10.2

Somma $- 5$ e $15$ .

$10$

Passaggio 11

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.2.2

Semplifica.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $5 \frac{4}{e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

$5$ e $\frac{4}{e}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 12.2.5

Combina.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Passaggio 12.2.6

Riduci l'espressione $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Passaggio 12.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 12.2.7

Sposta $e^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 12.2.8

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ spostando $- \frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 12.2.9

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 12.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Passaggio 12.2.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.2.11.2

Scomponi $2$ da $20$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.2.11.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.2.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Passaggio 12.2.12

$\frac{10}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Passaggio 12.2.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.13.1

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

Passaggio 12.2.13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

Passaggio 12.2.14

La risposta finale è $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ .

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ è un minimo locale

Passaggio 14