Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.6.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.2.11

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 6.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 7

Imposta $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 7.2.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 7.2.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 7.2.4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 7.2.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.4.8

$i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7.2.7

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.2.7.2

Il coseno inverso di $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ non è definito.

Indefinito

Passaggio 7.2.8

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.2.8.2

Il coseno inverso di $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ non è definito.

Indefinito

Passaggio 7.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 0, π$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Passaggio 10.1.9

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Passaggio 10.1.10

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - 6 - 3$

Passaggio 10.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6 - 3$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $3$ da $- 6$ .

$- 9$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Passaggio 12.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Passaggio 12.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Passaggio 12.2.2

Somma $2$ e $3$ .

$f (0) = 5$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.7

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.7.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.9

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.12

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Passaggio 14.1.13

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Passaggio 14.1.14

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.1.15

Moltiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.15.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 14.1.15.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $0$ e $6$ .

$6 + 3$

Passaggio 14.2.2

Somma $6$ e $3$ .

$9$

Passaggio 15

$x = π$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Passaggio 16.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Passaggio 16.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Passaggio 16.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Passaggio 16.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.2.1.8

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.1.8.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ è un massimo locale

$(π, - 5)$ è un minimo locale

Passaggio 18