Calcolo Esempi

$f (t) = t - \sqrt[3]{t}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - \sqrt[3]{t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t}$ come $t^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.2.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2.9

$\frac{1}{3}$ e $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.2.10

Sposta $t^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = 0 + \frac{d}{d t} (- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d t} \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ come ${(t^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d t} {(t^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (t^{\frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- {(t^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- {(t^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} t^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.2.11

$\frac{2}{3}$ e $t^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- t^{- \frac{4}{3}} \frac{2 t^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{2 t^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $t^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 t^{- \frac{1}{3}} t^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $t^{- \frac{1}{3}}$ per $t^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Sposta $t^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 (t^{- \frac{4}{3}} t^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 2.2.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 t^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 t^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 t^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 t^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $t^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 t^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (t) = 0 + 1 (\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3 t^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$f'' (t) = 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3 t^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.2.17

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3 t^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (t) = 0 + \frac{2}{3 (3 t^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 2.2.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (t) = 0 + \frac{2}{9 t^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{2}{9 t^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (t) = \frac{2}{9 t^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - \sqrt[3]{t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t}$ come $t^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 4.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 4.1.2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 4.1.2.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.9

$\frac{1}{3}$ e $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 4.1.2.10

Sposta $t^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = 1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 t^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$3 t^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $3 t^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$ per $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 1 = - 3 t^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$\frac{- 3 t^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 t^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $t^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Semplifica ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$t^{1} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.1.1.2

Semplifica.

$t = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica $\pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$t = \pm \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$t = \pm \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$1 - \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{t^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{t^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t^{2}}$ come $t^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 t^{2} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 t^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 t^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 t^{2} = 0$ .

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2.1.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$t^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$t^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$t = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$t = \pm 0$

Passaggio 6.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$t = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{9 {(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{9 \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 9.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{9 \frac{1}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}}}$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}}}$

Passaggio 9.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 5}}}$

Passaggio 9.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Passaggio 9.2

$9$ e $\frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{2}{\frac{9}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Passaggio 9.4

$2$ e $\frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Passaggio 10

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi $3^{\frac{3}{2}}$ come ${(3^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}}$

Passaggio 11.2.1.3

Riscrivi $\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}$ come ${(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3^{\frac{3}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $3^{\frac{1}{2}}$ per $3^{\frac{2}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 11.2.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Dividi $2$ per $2$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2.5.4

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{9 {(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 13.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{2}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.7

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.7.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.1.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 5}})}$

Passaggio 13.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}})}$

$\frac{2}{9 \cdot - 1 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Passaggio 13.1.8

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{2}{- (9 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}})}$

Passaggio 13.1.8.2

$9$ e $\frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{2}{- \frac{9}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 (- \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9})$

Passaggio 13.3

Moltiplica $2 (- \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Passaggio 13.3.2

$- 2$ e $\frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Passaggio 13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Passaggio 14

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Riscrivi $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ come ${(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + 1 (\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 15.2.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3^{\frac{3}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $3^{\frac{1}{2}}$ per $3^{\frac{2}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 15.2.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Dividi $2$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 15.2.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 15.2.5.3

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 17.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 17.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 17.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0}$

Passaggio 17.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{2}{0}$

Passaggio 17.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{2}{0}$

Passaggio 17.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 18

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) \cup (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0) \cup (0, \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Passaggio 18.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 3$ , dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})$ nella derivata prima $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2

La risposta finale è $1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.1$ , dell'intervallo $(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0)$ nella derivata prima $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f' (- 0.1) = 1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3.2

La risposta finale è $1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.1$ , dell'intervallo $(0, \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})$ nella derivata prima $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0.1$ nell'espressione.

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{3 {(0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{3 \cdot 0.21544346}$

Passaggio 18.4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.21544346$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{0.6463304}$

Passaggio 18.4.2.1.3

Dividi $1$ per $0.6463304$ .

$f' (0.1) = 1 - 1 \cdot 1.54719627$

Passaggio 18.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1.54719627$ .

$f' (0.1) = 1 - 1.54719627$

Passaggio 18.4.2.2

Sottrai $1.54719627$ da $1$ .

$f' (0.1) = - 0.54719627$

Passaggio 18.4.2.3

La risposta finale è $- 0.54719627$ .

$- 0.54719627$

Passaggio 18.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ nella derivata prima $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Sostituisci la variabile $t$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 18.5.2.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.4

Somma $3$ e $2$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.2

La risposta finale è $1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 18.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ , allora $t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un massimo locale.

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un massimo locale

Passaggio 18.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $t = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 18.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ , allora $t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un minimo locale.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un minimo locale

Passaggio 18.9

Questi sono gli estremi locali per $f (t) = t - \sqrt[3]{t}$ .

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un massimo locale

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un minimo locale

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un massimo locale

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ è un minimo locale

Passaggio 19