Calcolo Esempi

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $3 t^{2} + 27$ per $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t^{2} + 27$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t^{2}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.7

Poiché $27$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $27$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.8.1

Somma $6 t$ e $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.8.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.8

Sottrai $6 t^{2}$ da $3 t^{2}$ .

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Passaggio 1.1.9

$4$ e $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.2.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.2.2

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.1

Scomponi $12$ da $- 12 t^{2} + 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.1.1

Scomponi $12$ da $- 12 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.3.1.2

Scomponi $12$ da $108$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.3.1.3

Scomponi $12$ da $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.3.3

Riordina $- t^{2}$ e $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = t$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.4.1

Scomponi $3$ da $3 t^{2} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.4.1.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.4.2

Applica la regola del prodotto a $3 (t^{2} + 9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.4.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.5

Elimina il fattore comune di $12$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.5.1

Scomponi $3$ da $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.10.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.5.2.1

Scomponi $3$ da $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Passaggio 1.1.10.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Passaggio 1.1.10.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $3 + t$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $3 + t$ uguale a $0$ .

$3 + t = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 3$

Passaggio 2.3.3

Imposta $3 - t$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $3 - t$ uguale a $0$ .

$3 - t = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $3 - t = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- t = - 3$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t = - 3$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$t = 3$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ vera.

$t = - 3, 3$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $t = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $t$ per $- 3$ .

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3 {(- 3)}^{2} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $4 (- 3)$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Scomponi $3$ da $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Passaggio 4.1.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Passaggio 4.1.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 4}{9 + 9}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Somma $9$ e $9$ .

$\frac{- 4}{18}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{18}$

Passaggio 4.1.2.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Passaggio 4.1.2.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{9}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{9}$

Passaggio 4.2

Calcola per $t = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $t$ per $3$ .

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $3 {(3)}^{2} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Scomponi $3$ da $4 (3)$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 {(3)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Scomponi $3$ da $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Passaggio 4.2.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Passaggio 4.2.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{9 + 9}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $9$ e $9$ .

$\frac{4}{18}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{9}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

Passaggio 5