Calcolo Esempi

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 \sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2.2

Sostituisci $\sec^{2} (θ)$ con $1 + \tan^{2} (θ)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\tan (θ)$ per $\tan^{2} (θ)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta $\tan^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\tan^{2} (θ)$ per $\tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

Passaggio 2.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

Passaggio 2.6

Riordina il polinomio.

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.7

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Scomponi $2 \sec (θ) \tan (θ)$ da $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1.1

Scomponi $2 \sec (θ) \tan (θ)$ da $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.7.1.1.2

Scomponi $2 \sec (θ) \tan (θ)$ da $2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

Passaggio 2.7.1.1.3

Scomponi $2 \sec (θ) \tan (θ)$ da $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

Passaggio 2.7.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2.7.1.3

Moltiplica $\sec (θ)$ per $\sec^{2} (θ)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.1

Sposta $\sec^{2} (θ)$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.7.1.3.2

Moltiplica $\sec^{2} (θ)$ per $\sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.2.1

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.7.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.7.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

Passaggio 2.9

Imposta $\sec^{3} (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Imposta $\sec^{3} (θ)$ uguale a $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

Passaggio 2.9.2

Risolvi $\sec^{3} (θ) = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 2.9.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.9.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\sec (θ) = 0$

Passaggio 2.9.2.3

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 2.10

Imposta $\tan (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Imposta $\tan (θ)$ uguale a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Passaggio 2.10.2

Risolvi $\tan (θ) = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 2.10.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (0)$

Passaggio 2.10.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.10.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 2.10.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = π + 0$

Passaggio 2.10.2.4

Somma $π$ e $0$ .

$θ = π$

Passaggio 2.10.2.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

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Passaggio 2.10.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.10.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.10.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.10.2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.10.2.6

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ vera.

$θ = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.12

Consolida le risposte.

$θ = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\sec (θ)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ per ciascun valore di $θ$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $θ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $θ$ per $0$ .

$2 \sec (0) + \tan (0)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \tan (0)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2

Calcola per $θ = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $θ$ per $π$ .

$2 \sec (π) + \tan (π)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + \tan (π)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$- 2 - \tan (0)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$- 2 - 0$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5