Calcolo Esempi

$6 x + \sin (6 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + \sin (6 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$6 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$6 + \cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$6 + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 + \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 + \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \cos (6 x) \cdot 6$

Passaggio 1.1.3.5

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (6 x)$ .

$f' (x) = 6 + 6 \cos (6 x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 + 6 \cos (6 x)$ .

$6 + 6 \cos (6 x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 + 6 \cos (6 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 + 6 \cos (6 x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 \cos (6 x) = - 6$

Passaggio 2.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \cos (6 x) = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \cos (6 x) = - 6$ .

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\cos (6 x)$ per $1$ .

$\cos (6 x) = \frac{- 6}{6}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 6$ per $6$ .

$\cos (6 x) = - 1$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$6 x = \arccos (- 1)$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$6 x = π$

Passaggio 2.6

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = π$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.7

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$6 x = 2 π - π$

Passaggio 2.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$6 x = π$

Passaggio 2.8.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = π$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.9

Trova il periodo di $\cos (6 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.9.2

Sostituisci $b$ con $6$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 6 |}$

Passaggio 2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$\frac{2 π}{6}$

Passaggio 2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{6}$

Passaggio 2.9.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{3}$

Passaggio 2.10

Il periodo della funzione $\cos (6 x)$ è $\frac{π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $6 x + \sin (6 x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{6}$ a $x$ .

$6 (\frac{π}{6}) + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$π + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$π + \sin (6 \frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$π + \sin (π)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$π + \sin (0)$

Passaggio 4.1.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$π$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ a $x$ .

$6 (\frac{π}{2}) + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 π + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$3 π + \sin (2 (3) \frac{π}{2})$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{π}{2})$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 π + \sin (3 π)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$3 π + \sin (π)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$3 π + \sin (0)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$3 π + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $3 π$ e $0$ .

$3 π$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{5 π}{6}$ a $x$ .

$6 (\frac{5 π}{6}) + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 4.3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$5 π + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 π + \sin (6 \frac{5 π}{6})$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5 π + \sin (5 π)$

Passaggio 4.3.2.1.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$5 π + \sin (π)$

Passaggio 4.3.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$5 π + \sin (0)$

Passaggio 4.3.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$5 π + 0$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $5 π$ e $0$ .

$5 π$

Passaggio 4.4

Calcola per $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci $\frac{7 π}{6}$ a $x$ .

$6 (\frac{7 π}{6}) + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Passaggio 4.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{7 π}{6} + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$7 π + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Passaggio 4.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$7 π + \sin (6 \frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$7 π + \sin (7 π)$

Passaggio 4.4.2.1.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$7 π + \sin (π)$

Passaggio 4.4.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$7 π + \sin (0)$

Passaggio 4.4.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$7 π + 0$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $7 π$ e $0$ .

$7 π$

Passaggio 4.5

Calcola per $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci $\frac{3 π}{2}$ a $x$ .

$6 (\frac{3 π}{2}) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 4.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 4.5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (3 π) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 4.5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 π + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Passaggio 4.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$9 π + \sin (2 (3) \frac{3 π}{2})$

Passaggio 4.5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$9 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{3 π}{2})$

Passaggio 4.5.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$9 π + \sin (3 (3 π))$

Passaggio 4.5.2.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 π + \sin (9 π)$

Passaggio 4.5.2.1.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$9 π + \sin (π)$

Passaggio 4.5.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$9 π + \sin (0)$

Passaggio 4.5.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$9 π + 0$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $9 π$ e $0$ .

$9 π$

Passaggio 4.6

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{6}, π), (\frac{π}{2}, 3 π), (\frac{5 π}{6}, 5 π), (\frac{7 π}{6}, 7 π), (\frac{3 π}{2}, 9 π)$

Passaggio 5