Calcolo Esempi

$\frac{x}{3^{x}}$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $3^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int x {(3^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\int x \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\int x \cdot 3^{- x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = 3^{- x}$ .

$x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x}) - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$3^{- x}$ e $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)}) - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- \frac{1}{\ln (3)}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{\ln (3)}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - (- \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + 1 (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{\ln (3)}$ per $1$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} \int - 3^{u} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int 3^{u} d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $3^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

Passaggio 9

Riscrivi $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ come $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{- x}}{\ln^{2} (3)} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- \frac{1}{\ln (3)} x \cdot 3^{- x} - \frac{1}{\ln^{2} (3)} \cdot 3^{- x} + C$