Calcolo Esempi

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

Passaggio 3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$t$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Passaggio 4.2

$t$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

Passaggio 5

Sia $u = - \frac{t}{3}$ . Allora $d u = - \frac{1}{3} d t$ , quindi $- 3 d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - \frac{t}{3}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{t}{3}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

Passaggio 6.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

Passaggio 7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

Passaggio 8

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

Passaggio 10

Riscrivi $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ come $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$