Calcolo Esempi

$\sum_{k = 0}^{9} {(- \frac{3}{5})}^{k}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1}$ e ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ da ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{- \frac{3}{5}}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi $- \frac{3}{5}$ per $1$ .

$r = - \frac{3}{5}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $k$ in ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ .

$a = {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{5}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0}$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{5}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 1 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ per $1$ .

$a = \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.6

Dividi $1$ per $1$ .

$a = 1$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$1 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$ per $1$ .

$\frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{5}$ .

$\frac{1 - ({(- 1)}^{10} {(\frac{3}{5})}^{10})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1 - ({(- 1)}^{10} \frac{3^{10}}{5^{10}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{10}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.1

Sposta ${(- 1)}^{10}$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{10} \cdot - 1 \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{10}$ per $- 1$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{10} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + {(- 1)}^{10 + 1} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $10$ e $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{11} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $11$ .

$\frac{1 - \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $10$ .

$\frac{1 - \frac{59049}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.5

Eleva $5$ alla potenza di $10$ .

$\frac{1 - \frac{59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{9765625}{9765625} - \frac{59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{9765625 - 59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.8

Sottrai $59049$ da $9765625$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- - \frac{3}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Passaggio 5.3.4

Somma $5$ e $3$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{8}{5}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{9706576}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $8$ da $9706576$ .

$\frac{8 (1213322)}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

Passaggio 5.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot 1213322}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

Passaggio 5.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1213322}{9765625} \cdot 5$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $5$ da $9765625$ .

$\frac{1213322}{5 (1953125)} \cdot 5$

Passaggio 5.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1213322}{5 \cdot 1953125} \cdot 5$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1213322}{1953125}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1213322}{1953125}$

Forma decimale:

$0.62122086 \dots$