Calcolo Esempi

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ come ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 2

Dividi l'integrale in due integrali, dove $c$ è un qualche valore tra $- k$ e $k$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ rispetto a $k$ è $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 4

Inverti i limiti dell'integrazione.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 5

Trova la derivata di $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ rispetto a $k$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $k$ , la derivata di $- k$ rispetto a $k$ è $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ è $n k^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Passaggio 7

Trova la derivata di $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ rispetto a $k$ usando il teorema fondamentale del calcolo.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $- k$ .

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la regola del prodotto a $- (k)$ .

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $k^{2}$ per $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3

Sottrai $k^{2}$ da $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Elimina il fattore comune.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.6

Calcola l'esponente.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.7

Moltiplica per zero.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.7.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.8

Sottrai $k^{2}$ da $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 8.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.10.1

Elimina il fattore comune.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 8.10.2

Riscrivi l'espressione.

$0 + 0^{1}$

Passaggio 8.11

Calcola l'esponente.

$0 + 0$

Passaggio 8.12

Somma $0$ e $0$ .

$0$