Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x) + \cos (x)$ .

$- \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.3

Frazioni separate.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.7

Frazioni separate.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 1.2.9

Dividi $0$ per $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 1.2.11

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 1.2.12

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.12.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.12.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.12.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.12.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.12.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.12.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 1.2.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 1.2.14

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.14.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.15

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.16

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 1.2.16.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.16.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.16.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.16.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 1.2.16.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.16.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 1.2.16.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 1.2.17

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 1.2.17.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 1.2.17.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.17.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 1.2.17.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.2.18

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \sin (0) + \cos (0)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = - 0 + \cos (0)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + \cos (0)$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 + 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5