Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{6 x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{6 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$x^{2} (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$x^{2} (e^{6 x} \cdot 6) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{6 x}$ .

$x^{2} (6 \cdot e^{6 x}) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riordina i termini.

$6 e^{6 x} x^{2} + 2 e^{6 x} x$

Passaggio 1.1.1.4.2

Riordina i fattori in $6 e^{6 x} x^{2} + 2 e^{6 x} x$ .

$f' (x) = 6 x^{2} e^{6 x} + 2 x e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} e^{6 x} + 2 x e^{6 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{6 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2} e^{6 x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{6 x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{6 x}$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} \cdot 6) + e^{6 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.2.8

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{6 x}$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{6 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{6 x}]$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{6 x}]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{6 x}$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $6 x$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.3.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.3.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} \cdot 6) + e^{6 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.3.8

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{6 x}$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 \cdot e^{6 x}) + e^{6 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.3.9

Moltiplica $e^{6 x}$ per $1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x}) + e^{6 x})$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} (6 e^{6 x})) + 6 (e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x}) + e^{6 x})$

Passaggio 1.1.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} (6 e^{6 x})) + 6 (e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$36 (x^{2} (e^{6 x})) + 6 (e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 12 (e^{6 x} (x)) + 2 (x (6 e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2.4.3.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 12 e^{6 x} x + 12 (x (e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2.4.3.4

Somma $12 e^{6 x} x$ e $12 x e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.4.1

Sposta $e^{6 x}$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 12 x e^{6 x} + 12 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2.4.3.4.2

Somma $12 x e^{6 x}$ e $12 x e^{6 x}$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2.4.4

Riordina i termini.

$36 e^{6 x} x^{2} + 24 e^{6 x} x + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.2.4.5

Riordina i fattori in $36 e^{6 x} x^{2} + 24 e^{6 x} x + 2 e^{6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2 e^{6 x}$ da $36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $2 e^{6 x}$ da $36 x^{2} e^{6 x}$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $2 e^{6 x}$ da $24 x e^{6 x}$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 2 e^{6 x} (12 x) + 2 e^{6 x} = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $2 e^{6 x}$ da $2 e^{6 x}$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 2 e^{6 x} (12 x) + 2 e^{6 x} (1) = 0$

Passaggio 1.2.2.4

Scomponi $2 e^{6 x}$ da $2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 2 e^{6 x} (12 x)$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x) + 2 e^{6 x} (1) = 0$

Passaggio 1.2.2.5

Scomponi $2 e^{6 x}$ da $2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x) + 2 e^{6 x} (1)$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{6 x} = 0$

$18 x^{2} + 12 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $e^{6 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $e^{6 x}$ uguale a $0$ .

$e^{6 x} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $e^{6 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{6 x}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{6 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.5

Imposta $18 x^{2} + 12 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $18 x^{2} + 12 x + 1$ uguale a $0$ .

$18 x^{2} + 12 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $18 x^{2} + 12 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 18$ , $b = 12$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (18 \cdot 1)}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 18 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 18 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.3

Sottrai $72$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4

Riscrivi $72$ come $6^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$

Passaggio 1.2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 18 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 18 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.3

Sottrai $72$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4

Riscrivi $72$ come $6^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$

Passaggio 1.2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.4.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2})}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2})}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 18 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 18 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.3

Sottrai $72$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4

Riscrivi $72$ come $6^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 18}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$

Passaggio 1.2.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.5.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2})}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2})}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x + 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}) \cup (- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}) \cup (- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} e^{6 (- 3)} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3) = 36 \cdot (9 e^{6 (- 3)}) + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $36$ per $9$ .

$f'' (- 3) = 324 e^{6 (- 3)} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$f'' (- 3) = 324 e^{- 18} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = 324 (\frac{1}{e^{18}}) + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.5

$324$ e $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $24$ per $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - 72 \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - 72 \cdot e^{- 18} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - 72 \cdot \frac{1}{e^{18}} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.9

$- 72$ e $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} + \frac{- 72}{e^{18}} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + 2 e^{6 (- 3)}$

Passaggio 4.2.1.11

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + 2 e^{- 18}$

Passaggio 4.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + 2 (\frac{1}{e^{18}})$

Passaggio 4.2.1.13

$2$ e $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + \frac{2}{e^{18}}$

Passaggio 4.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 3) = \frac{324 - 72 + 2}{e^{18}}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $72$ da $324$ .

$f'' (- 3) = \frac{252 + 2}{e^{18}}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $252$ e $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{254}{e^{18}}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\frac{254}{e^{18}}$ .

$\frac{254}{e^{18}}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ perché $f'' (- 3)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.33$ nell'espressione.

$f'' (- 0.33) = 36 {(- 0.33)}^{2} e^{6 (- 0.33)} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.33$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.33) = 36 \cdot (0.1089 e^{6 (- 0.33)}) + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.1089$ .

$f'' (- 0.33) = 3.9204 e^{6 (- 0.33)} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 3.9204 e^{- 1.98} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.33) = 3.9204 (\frac{1}{e^{1.98}}) + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.5

$3.9204$ e $\frac{1}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = \frac{3.9204}{e^{1.98}} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.33) = \frac{3.9204}{{2.71828182}^{1.98}} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.98$ .

$f'' (- 0.33) = \frac{3.9204}{7.24274298} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.8

Dividi $3.9204$ per $7.24274298$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $24$ per $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 7.92 \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.10

Moltiplica $6$ per $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 7.92 \cdot e^{- 1.98} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 7.92 \cdot \frac{1}{e^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.12

$- 7.92$ e $\frac{1}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 + \frac{- 7.92}{e^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - \frac{7.92}{e^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.14

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - \frac{7.92}{{2.71828182}^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.15

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.98$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - \frac{7.92}{7.24274298} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.16

Dividi $7.92$ per $7.24274298$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1 \cdot 1.09350835 + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.17

Moltiplica $- 1$ per $1.09350835$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Passaggio 5.2.1.18

Moltiplica $6$ per $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + 2 e^{- 1.98}$

Passaggio 5.2.1.19

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + 2 (\frac{1}{e^{1.98}})$

Passaggio 5.2.1.20

$2$ e $\frac{1}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + \frac{2}{e^{1.98}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $1.09350835$ da $0.54128663$ .

$f'' (- 0.33) = - 0.55222172 + \frac{2}{e^{1.98}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 0.55222172$ e $\frac{2}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = - 0.27608324$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.27608324$ .

$- 0.27608324$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ perché $f'' (- 0.33)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} e^{6 (0)} + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot (0 e^{6 (0)}) + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{6 (0)} + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $24$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot e^{0} + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2 e^{6 (0)}$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2 e^{0}$

Passaggio 6.2.1.11

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8