Calcolo Esempi

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x - 10 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.1.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 1.1.1.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Passaggio 1.1.1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Passaggio 1.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 e^{- x} + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.2.8

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Passaggio 1.1.2.3.2

Somma $- 10 e^{- x}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 10 e^{- x} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 e^{- x} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 e^{- x} = 0$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $e^{- x}$ per $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 1.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.4

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.5

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Il grafico è una funzione concava perché la derivata seconda è negativa.

Il grafico è una funzione concava

Passaggio 4