Calcolo Esempi

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.6

$\frac{4}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + 0)$

Passaggio 1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.10.2

Moltiplica $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ per $1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 2.7.4

Moltiplica $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 2.7.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $\frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{4}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.6

$\frac{4}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} (1 + 0)$

Passaggio 4.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.1.10.2

Moltiplica $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Dividi ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 5.3.2

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.3.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{9 {((1) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 9.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{4}{0}$

Passaggio 9.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{4 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{4 (- 1)}{3}$

Passaggio 10.2.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (0) = - \frac{4}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $\frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{4 {((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.2

Sposta $3^{\frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (4) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.3

Moltiplica $3$ per $3^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.3.1

Moltiplica $3$ per $3^{- \frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (4) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (4) = \frac{4}{3^{1 - \frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{4}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{4}{3^{\frac{3 - 1}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.3.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$f' (4) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.4

La risposta finale è $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11