Calcolo Esempi

$f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ e $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 {(x + 1)}^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 {(x + 1)}^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3} + \frac{d}{d x} (- 5)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $20 {(x + 1)}^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.5

Somma $1$ e $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Passaggio 5.2

Semplifica $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.4.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Passaggio 5.2.1.4.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ e $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

Passaggio 5.3

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = - 2, 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {((- 2) + 1)}^{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$20 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 9.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$20 \cdot - 1$

Passaggio 9.3

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$- 20$

Passaggio 10

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (- 2) = {(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 2) = - 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + 10 - 2$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 1$ e $10$ .

$f (- 2) = 9 - 2$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $2$ da $9$ .

$f (- 2) = 7$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $7$ .

$y = 7$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {((0) + 1)}^{3}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Somma $0$ e $1$ .

$20 \cdot 1^{3}$

Passaggio 13.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$20 \cdot 1$

Passaggio 13.3

Moltiplica $20$ per $1$ .

$20$

Passaggio 14

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Passaggio 15.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (0) = 1 - 5 \cdot 0 - 2$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 1 + 0 - 2$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = 1 - 2$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (0) = - 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ .

$(- 2, 7)$ è un massimo locale

$(0, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 17