Calcolo Esempi

$f (x) = | 7 - x^{2} |$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 7 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - x^{2}$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (- (2 x))$

Passaggio 1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (- 2 x)$

Passaggio 1.2.6.2

$- 2$ e $\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |} x$

Passaggio 1.2.6.3

$\frac{- 2 (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 (7 - x^{2})) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(2 \cdot 7 + 2 (- x^{2})) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 \cdot 7 x + 2 (- x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- \frac{14 x + 2 (- x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sposta $x$ .

$- \frac{14 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{14 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{14 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{14 x + 2 (- x^{3})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{14 x - 2 x^{3}}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $2 x$ da $14 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $2 x$ da $14 x$ .

$- \frac{2 x (7) - 2 x^{3}}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (7) + 2 x (- x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (7) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (7 - x^{2})$ e $g (x) = | 7 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x (7 - x^{2})) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 7 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (7 - x^{2}) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (x (\frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (x (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (x (- (2 x)) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (x (- 2 x) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 2 x^{1 + 1} + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (7 - x^{2}) \cdot 1) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Moltiplica $7 - x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 2 x^{2} + 7 - x^{2}) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.8.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - x (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 7 - x^{2} |}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 7 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - x (7 - x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - x (7 - x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - x (7 - x^{2}) (\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |}$ e $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - \frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (7 - x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - \frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |} \cdot ((7 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - \frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |} \cdot ((7 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - \frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) - \frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |} \cdot ((7 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + 1 (\frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}) \cdot (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.6.2

Moltiplica $\frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |} \cdot ((7 - x^{2}) (2 x))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.8.1

$2$ e $\frac{(7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{2 ((7 - x^{2}) x)}{| 7 - x^{2} |} \cdot ((7 - x^{2}) x)}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.10.8.2

$x$ e $\frac{2 ((7 - x^{2}) x)}{| 7 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x (2 ((7 - x^{2}) x))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x \cdot x (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x \cdot x (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x^{1 + 1} (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.14

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x^{2} (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.15

$- 2$ e $\frac{| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x^{2} (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} (7 - x^{2})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x^{2} (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x^{2} (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x^{2} (2 \cdot 7 + 2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7) + \frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 7)) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 7 - x^{2} | (- 3 x^{2}) + | 7 - x^{2} | \cdot 7) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 7 - x^{2} | x^{2} + | 7 - x^{2} | \cdot 7) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.3

Sposta $7$ alla sinistra di $| 7 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 7 - x^{2} | x^{2} + 7 \cdot | 7 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 7 - x^{2} | x^{2}) + 2 (7 | 7 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.5

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 7 - x^{2} | x^{2}) + 2 (7 | 7 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.6

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 7 - x^{2} | x^{2}) + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 7) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.7

Scomponi $x^{2} \cdot 2$ da $x^{2} \cdot 2 \cdot 7 + x^{2} (2 (- x^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.1.7.1

Scomponi $x^{2} \cdot 2$ da $x^{2} \cdot 2 \cdot 7$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot (2 (7)) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.7.2

Scomponi $x^{2} \cdot 2$ da $x^{2} (2 (- x^{2}))$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot (2 (7)) + x^{2} \cdot (2 (- x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.7.3

Scomponi $x^{2} \cdot 2$ da $x^{2} \cdot 2 (7) + x^{2} \cdot 2 (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot (2 (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.8

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{2 \cdot (x^{2} (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |} \cdot (7 - x^{2}))}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.9

Moltiplica $\frac{2 x^{2} (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ per $7 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (7 - x^{2}) (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.1.10.1

Eleva $7 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((7 - x^{2}) (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.10.2

Eleva $7 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((7 - x^{2}) (7 - x^{2}))}{| 7 - x^{2} |})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.10.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(7 - x^{2})}^{1 + 1}}{| 7 - x^{2} |})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |})}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.11

Moltiplica $2 \frac{2 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.1.11.1

$2$ e $\frac{2 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 (2 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.1.11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + \frac{4 (x^{2} {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} + 14 | 7 - x^{2} | + \frac{4 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.2

Per scrivere $- 6 | 7 - x^{2} | x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| 7 - x^{2} |}{| 7 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | - 6 | 7 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| 7 - x^{2} |}{| 7 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.3

$- 6 | 7 - x^{2} | x^{2}$ e $\frac{| 7 - x^{2} |}{| 7 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} | 7 - x^{2} |}{| 7 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} | 7 - x^{2} | + 4 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} | 7 - x^{2} | + 4 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.1.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 6 | 7 - x^{2} | x^{2} | 7 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |) + 4 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.1.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{2} {(7 - x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.1.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (- 3 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(7 - x^{2})}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.2.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.2.2

Eleva $7 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.2.3

Eleva $7 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(7 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(7 - x^{2})}^{2} | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.1

Riscrivi ${(7 - x^{2})}^{2}$ come $(7 - x^{2}) (7 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.2

Espandi $(7 - x^{2}) (7 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 7 (7 - x^{2}) - x^{2} (7 - x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 7 \cdot 7 + 7 (- x^{2}) - x^{2} (7 - x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 7 \cdot 7 + 7 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.1

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 + 7 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.3.2

Sottrai $7 x^{2}$ da $- 7 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 {(7 - x^{2})}^{2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.4

Riscrivi ${(7 - x^{2})}^{2}$ come $(7 - x^{2}) (7 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 ((7 - x^{2}) (7 - x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.5

Espandi $(7 - x^{2}) (7 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (7 (7 - x^{2}) - x^{2} (7 - x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (7 \cdot 7 + 7 (- x^{2}) - x^{2} (7 - x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (7 \cdot 7 + 7 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.1

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 + 7 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - x^{2} (- x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + 1 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.6.2

Sottrai $7 x^{2}$ da $- 7 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 (49 - 14 x^{2} + x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 2 \cdot 49 + 2 (- 14 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.5.3.8.1

Moltiplica $2$ per $49$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 + 2 (- 14 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.5.3.8.2

Moltiplica $- 14$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{14 | 7 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.6

Per scrivere $14 | 7 - x^{2} |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| 7 - x^{2} |}{| 7 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{14 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |}{| 7 - x^{2} |} + \frac{2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{14 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.1

Scomponi $2$ da $14 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.1.1

Scomponi $2$ da $14 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |) + 2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.1.2

Scomponi $2$ da $2 x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.1.3

Scomponi $2$ da $2 (7 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.2

Moltiplica $7 | 7 - x^{2} | | 7 - x^{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.2.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.2.2

Eleva $7 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.2.3

Eleva $7 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | {(7 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | {(7 - x^{2})}^{2} | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.3

Riscrivi ${(7 - x^{2})}^{2}$ come $(7 - x^{2}) (7 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | (7 - x^{2}) (7 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.4

Espandi $(7 - x^{2}) (7 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 7 (7 - x^{2}) - x^{2} (7 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 7 \cdot 7 + 7 (- x^{2}) - x^{2} (7 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 7 \cdot 7 + 7 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.5.1.1

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 + 7 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - x^{2} \cdot 7 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.5.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.5.2

Sottrai $7 x^{2}$ da $- 7 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 - 28 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} |) + x^{2} \cdot 98 + x^{2} (- 28 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.7.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + x^{2} \cdot 98 + x^{2} (- 28 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.7.2

Sposta $98$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 \cdot x^{2} + x^{2} (- 28 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 \cdot x^{2} - 28 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x^{4}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 \cdot x^{2} - 28 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.8.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.8.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{2} x^{4})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.4.8.8.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 (x^{4} x^{2}))}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{4 + 2})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.4.8.8.2.3

Somma $4$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.5.1

Riscrivi $\frac{\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{| 7 - x^{2} |}}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{| 7 - x^{2} |} \cdot \frac{1}{{| 7 - x^{2} |}^{2}})$

Passaggio 2.17.5.2

Moltiplica $\frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{| 7 - x^{2} |}$ per $\frac{1}{{| 7 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{| 7 - x^{2} | {| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.5.3

Moltiplica $| 7 - x^{2} |$ per ${| 7 - x^{2} |}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.5.3.1

Moltiplica $| 7 - x^{2} |$ per ${| 7 - x^{2} |}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.5.3.1.1

Eleva $| 7 - x^{2} |$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{| 7 - x^{2} | {| 7 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 2.17.5.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 7 - x^{2} |}^{1 + 2}}$

Passaggio 2.17.5.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (7 | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 49 - 14 x^{2} + x^{4} | + 98 x^{2} - 28 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 7 - x^{2} |}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 7 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - x^{2}$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [7 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (- (2 x))$

Passaggio 4.1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |} (- 2 x)$

Passaggio 4.1.2.6.2

$- 2$ e $\frac{7 - x^{2}}{| 7 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |} x$

Passaggio 4.1.2.6.3

$\frac{- 2 (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (7 - x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 (7 - x^{2})) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(2 \cdot 7 + 2 (- x^{2})) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 \cdot 7 x + 2 (- x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- \frac{14 x + 2 (- x^{2}) x}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.1

Sposta $x$ .

$- \frac{14 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{14 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{14 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{14 x + 2 (- x^{3})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{14 x - 2 x^{3}}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $2 x$ da $14 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Scomponi $2 x$ da $14 x$ .

$- \frac{2 x (7) - 2 x^{3}}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (7) + 2 x (- x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.1.3.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (7) + 2 x (- x^{2})$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ .

$- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (7 - x^{2}) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$7 - x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $7 - x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $7 - x^{2}$ uguale a $0$ .

$7 - x^{2} = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Risolvi $7 - x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 7$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 7$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 7$ per $- 1$ .

$x^{2} = 7$

Passaggio 5.3.3.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{7}$

Passaggio 5.3.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{7}$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{7}$

Passaggio 5.3.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (7 - x^{2}) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 5.4

Escludi le soluzioni che non rendono $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| 7 - x^{2} | = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$7 - x^{2} = \pm 0$

Passaggio 6.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$7 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 7$

Passaggio 6.2.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 7$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Dividi $- 7$ per $- 1$ .

$x^{2} = 7$

Passaggio 6.2.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{7}$

Passaggio 6.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{7}$

Passaggio 6.2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{7}$

Passaggio 6.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - \sqrt{7}, x = \sqrt{7}$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - \sqrt{7}, \sqrt{7}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (7 | 49 - 14 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | - 3 {(0)}^{2} | 49 - 14 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 98 {(0)}^{2} - 28 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{6})}{{| 7 - {(0)}^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (7 | 49 - 14 \cdot 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.1.2

Moltiplica $- 14$ per $0$ .

$- \frac{2 (7 | 49 + 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (7 | 49 + 0 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Somma $49$ e $0$ .

$- \frac{2 (7 | 49 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Somma $49$ e $0$ .

$- \frac{2 (7 | 49 | - 3 \cdot 0^{2} | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $49$ è $49$ .

$- \frac{2 (7 \cdot 49 - 3 \cdot 0^{2} | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $7$ per $49$ .

$- \frac{2 (343 - 3 \cdot 0^{2} | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (343 - 3 \cdot 0 | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 | 49 - 14 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 | 49 - 14 \cdot 0 + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.8.2

Moltiplica $- 14$ per $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 | 49 + 0 + 0^{4} | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.8.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 | 49 + 0 + 0 | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.9

Somma $49$ e $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 | 49 + 0 | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.10

Somma $49$ e $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 | 49 | + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.11

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $49$ è $49$ .

$- \frac{2 (343 + 0 \cdot 49 + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $0$ per $49$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 98 \cdot 0^{2} - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.13

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 98 \cdot 0 - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.14

Moltiplica $98$ per $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 0 - 28 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.15

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 0 - 28 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.16

Moltiplica $- 28$ per $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.17

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0)}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.18

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 0 + 0 + 0)}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.19

Somma $343 + 0 + 0 + 0$ e $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 0 + 0)}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.20

Somma $343 + 0 + 0$ e $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0 + 0)}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.21

Somma $343 + 0$ e $0$ .

$- \frac{2 (343 + 0)}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.1.22

Somma $343$ e $0$ .

$- \frac{2 \cdot 343}{{| 7 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 \cdot 343}{{| 7 - 0 |}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{2 \cdot 343}{{| 7 + 0 |}^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Somma $7$ e $0$ .

$- \frac{2 \cdot 343}{{| 7 |}^{3}}$

Passaggio 9.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $7$ è $7$ .

$- \frac{2 \cdot 343}{7^{3}}$

Passaggio 9.2.5

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 \cdot 343}{343}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $2$ per $343$ .

$- \frac{686}{343}$

Passaggio 9.3.2

Dividi $686$ per $343$ .

$- 1 \cdot 2$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = | 7 - {(0)}^{2} |$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = | 7 - 0 |$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = | 7 + 0 |$

Passaggio 11.2.2

Somma $7$ e $0$ .

$f (0) = | 7 |$

Passaggio 11.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $7$ è $7$ .

$f (0) = 7$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $7$ .

$y = 7$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{7}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (7 | 49 - 14 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{4} | - 3 {(- \sqrt{7})}^{2} | 49 - 14 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{4} | + 98 {(- \sqrt{7})}^{2} - 28 {(- \sqrt{7})}^{4} + 2 {(- \sqrt{7})}^{6})}{{| 7 - {(- \sqrt{7})}^{2} |}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{7}$ .

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

Passaggio 13.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 13.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Passaggio 13.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

Passaggio 13.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

Passaggio 13.1.4

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

Passaggio 13.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Passaggio 13.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

Passaggio 13.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 13.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

Passaggio 13.1.4.5

Calcola l'esponente.

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

Passaggio 13.2

Sottrai $7$ da $7$ .

Passaggio 13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

Passaggio 13.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

Passaggio 13.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \sqrt{7}) \cup (- \sqrt{7}, 0) \cup (0, \sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 5$ , dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{7})$ nella derivata prima $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = - \frac{2 (- 5) (7 - {(- 5)}^{2})}{| 7 - {(- 5)}^{2} |}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (7 - {(- 5)}^{2})}{| 7 - {(- 5)}^{2} |}$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (7 - {(- 5)}^{2})}{| 7 - 1 \cdot 25 |}$

Passaggio 14.2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (7 - {(- 5)}^{2})}{| 7 - 25 |}$

Passaggio 14.2.2.2.3

Sottrai $25$ da $7$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (7 - {(- 5)}^{2})}{| - 18 |}$

Passaggio 14.2.2.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 18$ e $0$ è $18$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (7 - {(- 5)}^{2})}{18}$

Passaggio 14.2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.3.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (7 - 1 \cdot 25)}{18}$

Passaggio 14.2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (7 - 25)}{18}$

Passaggio 14.2.2.3.3

Sottrai $25$ da $7$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 \cdot - 18}{18}$

Passaggio 14.2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.4.1

Moltiplica $- 10$ per $- 18$ .

$f' (- 5) = - \frac{180}{18}$

Passaggio 14.2.2.4.2

Dividi $180$ per $18$ .

$f' (- 5) = - 1 \cdot 10$

Passaggio 14.2.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (- 5) = - 10$

Passaggio 14.2.2.5

La risposta finale è $- 10$ .

$- 10$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dell'intervallo $(- \sqrt{7}, 0)$ nella derivata prima $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (7 - {(- 1)}^{2})}{| 7 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (7 + (- 1) {(- 1)}^{2})}{| 7 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (7 + {(- 1)}^{1 + 2})}{| 7 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (7 + {(- 1)}^{3})}{| 7 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 + {(- 1)}^{3})}{| 7 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 + {(- 1)}^{3})}{| 7 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.2.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 + {(- 1)}^{3})}{| 7 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Passaggio 14.3.2.3.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 + {(- 1)}^{3})}{| 7 + {(- 1)}^{3} |}$

Passaggio 14.3.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 + {(- 1)}^{3})}{| 7 - 1 |}$

Passaggio 14.3.2.3.3

Sottrai $1$ da $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 + {(- 1)}^{3})}{| 6 |}$

Passaggio 14.3.2.3.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 + {(- 1)}^{3})}{6}$

Passaggio 14.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (7 - 1)}{6}$

Passaggio 14.3.2.4.2

Sottrai $1$ da $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Passaggio 14.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 12}{6}$

Passaggio 14.3.2.5.2

Dividi $- 12$ per $6$ .

$f' (- 1) = 2$

Passaggio 14.3.2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Passaggio 14.3.2.6

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \sqrt{7})$ nella derivata prima $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{2 (1) (7 - {(1)}^{2})}{| 7 - {(1)}^{2} |}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (7 - 1^{2})}{| 7 - 1^{2} |}$

Passaggio 14.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{2 (7 - 1^{2})}{| 7 - 1 \cdot 1 |}$

Passaggio 14.4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (7 - 1^{2})}{| 7 - 1 |}$

Passaggio 14.4.2.2.3

Sottrai $1$ da $7$ .

$f' (1) = - \frac{2 (7 - 1^{2})}{| 6 |}$

Passaggio 14.4.2.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$f' (1) = - \frac{2 (7 - 1^{2})}{6}$

Passaggio 14.4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{2 (7 - 1 \cdot 1)}{6}$

Passaggio 14.4.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (7 - 1)}{6}$

Passaggio 14.4.2.3.3

Sottrai $1$ da $7$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot 6}{6}$

Passaggio 14.4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (1) = - \frac{12}{6}$

Passaggio 14.4.2.4.2

Dividi $12$ per $6$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 14.4.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (1) = - 2$

Passaggio 14.4.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 14.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(\sqrt{7}, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{2 x (7 - x^{2})}{| 7 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - \frac{2 (5) (7 - {(5)}^{2})}{| 7 - {(5)}^{2} |}$

Passaggio 14.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{10 (7 - 5^{2})}{| 7 - 5^{2} |}$

Passaggio 14.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (7 - 5^{2})}{| 7 - 1 \cdot 25 |}$

Passaggio 14.5.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (7 - 5^{2})}{| 7 - 25 |}$

Passaggio 14.5.2.2.3

Sottrai $25$ da $7$ .

$f' (5) = - \frac{10 (7 - 5^{2})}{| - 18 |}$

Passaggio 14.5.2.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 18$ e $0$ è $18$ .

$f' (5) = - \frac{10 (7 - 5^{2})}{18}$

Passaggio 14.5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (7 - 1 \cdot 25)}{18}$

Passaggio 14.5.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (7 - 25)}{18}$

Passaggio 14.5.2.3.3

Sottrai $25$ da $7$ .

$f' (5) = - \frac{10 \cdot - 18}{18}$

Passaggio 14.5.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.4.1

Moltiplica $10$ per $- 18$ .

$f' (5) = - \frac{- 180}{18}$

Passaggio 14.5.2.4.2

Dividi $- 180$ per $18$ .

$f' (5) = 10$

Passaggio 14.5.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$f' (5) = 10$

Passaggio 14.5.2.5

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - \sqrt{7}$ , allora $x = - \sqrt{7}$ è un minimo locale.

$x = - \sqrt{7}$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 14.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \sqrt{7}$ , allora $x = \sqrt{7}$ è un minimo locale.

$x = \sqrt{7}$ è un minimo locale

Passaggio 14.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = | 7 - x^{2} |$ .

$x = - \sqrt{7}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \sqrt{7}$ è un minimo locale

$x = - \sqrt{7}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \sqrt{7}$ è un minimo locale

Passaggio 15