Calcolo Esempi

$- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 (2 x)$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 \cdot 1$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 24$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{2} - 12 x + 24$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 12$ da $- 12 x^{2} - 12 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $- 12$ da $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $- 12$ da $- 12 x$ .

$- 12 x^{2} - 12 x + 24 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $- 12$ da $24$ .

$- 12 x^{2} - 12 x - 12 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $- 12$ da $- 12 (x^{2}) - 12 (x)$ .

$- 12 (x^{2} + x) - 12 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $- 12$ da $- 12 (x^{2} + x) - 12 (- 2)$ .

$- 12 (x^{2} + x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 12 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 12 (x - 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 (x - 1) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 1, - 2$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 - 2 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 - 2 + 12 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 12$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f (1) = - 3 + 12$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 3$ e $12$ .

$f (1) = 9$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ è $(1, 9)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, 9)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 2$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (- 2) = - 16 - 2 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2) = - 16 + (- 2) {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2) = - 16 + {(- 2)}^{1 + 3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 2) = - 16 + {(- 2)}^{4} + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 12 \cdot 4$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 48$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 16$ e $16$ .

$f (- 2) = 0 + 48$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $0$ e $48$ .

$f (- 2) = 48$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 2$ in $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 12 x^{2}$ è $(- 2, 48)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2, 48)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, 9), (- 2, 48)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.1$ nell'espressione.

$f'' (- 2.1) = - 12 {(- 2.1)}^{2} - 12 \cdot - 2.1 + 24$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.1) = - 12 \cdot 4.41 - 12 \cdot - 2.1 + 24$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = - 52.92 - 12 \cdot - 2.1 + 24$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - 52.92 + 25.2 + 24$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 52.92$ e $25.2$ .

$f'' (- 2.1) = - 27.72 + 24$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 27.72$ e $24$ .

$f'' (- 2.1) = - 3.72$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3.72$ .

$- 3.72$

Passaggio 6.3

Per $- 2.1$ , la derivata seconda è $- 3.72$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 \frac{1}{2^{2}} - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 12 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (- 3) (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 - 12 (- \frac{1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 - 12 (\frac{- 1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2}) + 24$

Passaggio 7.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2})) + 24$

Passaggio 7.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 - 6 \cdot - 1 + 24$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 6 + 24$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 3$ e $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 24$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $3$ e $24$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 27$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $27$ .

$27$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- \frac{1}{2}$ , la derivata seconda è $27$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 2, 1)$ .

Crescente su $(- 2, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = - 12 {(1.1)}^{2} - 12 \cdot 1.1 + 24$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = - 12 \cdot 1.21 - 12 \cdot 1.1 + 24$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 - 12 \cdot 1.1 + 24$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 - 13.2 + 24$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $13.2$ da $- 14.52$ .

$f'' (1.1) = - 27.72 + 24$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 27.72$ e $24$ .

$f'' (1.1) = - 3.72$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 3.72$ .

$- 3.72$

Passaggio 8.3

Per $1.1$ , la derivata seconda è $- 3.72$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 2, 48), (1, 9)$ .

$(- 2, 48), (1, 9)$

Passaggio 10