Calcolo Esempi

$e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- 1.5 x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Passaggio 2.1.3.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 1.5 x^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 1.5 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x^{2}}] + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 1.5 x^{2}$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 1.5 x^{2}$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 1.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1.5$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (x^{1} x (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (x^{1} x^{1} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 (x^{1 + 1} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 (x^{2} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.8.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 (x^{2} (- 3 \cdot e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $e^{- 1.5 x^{2}}$ per $1$ .

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}})$

Passaggio 2.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}})) - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.2

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.3

Riordina i termini.

$9 e^{- 1.5 x^{2}} x^{2} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2.2.11.4

Riordina i fattori in $9 e^{- 1.5 x^{2}} x^{2} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ da $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ da $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ da $- 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) + 3 e^{- 1.5 x^{2}} (- 1) = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ da $3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) + 3 e^{- 1.5 x^{2}} (- 1)$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $3 x^{2}$ come ${(1.7320508 x)}^{2}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ({(1.7320508 x)}^{2} - 1) = 0$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ({(1.7320508 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1.7320508 x$ e $b = 1$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ((1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1)) = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

$1.7320508 x + 1 = 0$

$1.7320508 x - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{- 1.5 x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{- 1.5 x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

Imposta $1.7320508 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $1.7320508 x + 1$ uguale a $0$ .

$1.7320508 x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $1.7320508 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1.7320508 x = - 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $1.7320508$ ciascun termine in $1.7320508 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $1.7320508$ ciascun termine in $1.7320508 x = - 1$ .

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{- 1}{1.7320508}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1.7320508$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{- 1}{1.7320508}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{1.7320508}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $1.7320508$ .

$x = - 0.57735026$

Passaggio 3.6

Imposta $1.7320508 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $1.7320508 x - 1$ uguale a $0$ .

$1.7320508 x - 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $1.7320508 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$1.7320508 x = 1$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $1.7320508$ ciascun termine in $1.7320508 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $1.7320508$ ciascun termine in $1.7320508 x = 1$ .

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{1}{1.7320508}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1.7320508$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{1}{1.7320508}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{1.7320508}$

Passaggio 3.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.3.1

Dividi $1$ per $1.7320508$ .

$x = 0.57735026$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 e^{- 1.5 x^{2}} (1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1) = 0$ vera.

$x = - 0.57735026, 0.57735026$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 0.57735026$ in $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.57735026$ nell'espressione.

$f (- 0.57735026) = e^{- 1.5 {(- 0.57735026)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $- 0.57735026$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.57735026) = e^{- 1.5 \cdot 0.\overline{3}}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1.5$ per $0.\overline{3}$ .

$f (- 0.57735026) = e^{- 0.4\overline{9}}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.57735026) = \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$ .

$\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $- 0.57735026$ in $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ è $(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

Passaggio 4.3

Sostituisci $0.57735026$ in $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.57735026$ nell'espressione.

$f (0.57735026) = e^{- 1.5 {(0.57735026)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $0.57735026$ alla potenza di $2$ .

$f (0.57735026) = e^{- 1.5 \cdot 0.\overline{3}}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1.5$ per $0.\overline{3}$ .

$f (0.57735026) = e^{- 0.4\overline{9}}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0.57735026) = \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

Passaggio 4.3.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$ .

$\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $0.57735026$ in $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ è $(0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 0.57735026) \cup (- 0.57735026, 0.57735026) \cup (0.57735026, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 0.57735026)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.67735026$ nell'espressione.

$f'' (- 0.67735026) = 9 {(- 0.67735026)}^{2} e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 9 \cdot (0.45880338 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 1.5$ per $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 0.68820508} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 (\frac{1}{e^{0.68820508}}) - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6

$4.12923048$ e $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{e^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{{2.71828182}^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.68820508$ .

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{1.99014018} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.9

Dividi $4.12923048$ per $1.99014018$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $- 0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338}$

Passaggio 6.2.1.11

Moltiplica $- 1.5$ per $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 0.68820508}$

Passaggio 6.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 \frac{1}{e^{0.68820508}}$

Passaggio 6.2.1.13

$- 3$ e $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 + \frac{- 3}{e^{0.68820508}}$

Passaggio 6.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{e^{0.68820508}}$

Passaggio 6.2.1.15

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{{2.71828182}^{0.68820508}}$

Passaggio 6.2.1.16

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.68820508$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{1.99014018}$

Passaggio 6.2.1.17

Dividi $3$ per $1.99014018$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 1 \cdot 1.50743149$

Passaggio 6.2.1.18

Moltiplica $- 1$ per $1.50743149$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 1.50743149$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $1.50743149$ da $2.07484403$ .

$f'' (- 0.67735026) = 0.56741253$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.56741253$ .

$0.56741253$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.67735026$ , la derivata seconda è $0.56741253$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 0.57735026)$ .

Crescente su $(- \infty, - 0.57735026)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.57735026, 0.57735026)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 9 {(0)}^{2} e^{- 1.5 {(0)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 9 \cdot (0 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 1.5 {(0)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 1.5 \cdot 0} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 1.5$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0}$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $- 1.5$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 e^{0}$

Passaggio 7.2.1.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f'' (0) = - 3$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 7.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 0.57735026, 0.57735026)$ .

Decrescente su $(- 0.57735026, 0.57735026)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.57735026, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.67735026$ nell'espressione.

$f'' (0.67735026) = 9 {(0.67735026)}^{2} e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.67735026) = 9 \cdot (0.45880338 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 1.5$ per $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 0.68820508} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 (\frac{1}{e^{0.68820508}}) - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.6

$4.12923048$ e $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{e^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{{2.71828182}^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.68820508$ .

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{1.99014018} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.9

Dividi $4.12923048$ per $1.99014018$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10

Eleva $0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338}$

Passaggio 8.2.1.11

Moltiplica $- 1.5$ per $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 0.68820508}$

Passaggio 8.2.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 \frac{1}{e^{0.68820508}}$

Passaggio 8.2.1.13

$- 3$ e $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 + \frac{- 3}{e^{0.68820508}}$

Passaggio 8.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{e^{0.68820508}}$

Passaggio 8.2.1.15

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{{2.71828182}^{0.68820508}}$

Passaggio 8.2.1.16

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.68820508$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{1.99014018}$

Passaggio 8.2.1.17

Dividi $3$ per $1.99014018$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 1 \cdot 1.50743149$

Passaggio 8.2.1.18

Moltiplica $- 1$ per $1.50743149$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 1.50743149$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $1.50743149$ da $2.07484403$ .

$f'' (0.67735026) = 0.56741253$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.56741253$ .

$0.56741253$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.67735026$ , la derivata seconda è $0.56741253$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0.57735026, \infty)$ .

Crescente su $(0.57735026, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ .

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

Passaggio 10