Calcolo Esempi

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ .

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ come ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica.

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 2, 1$

Passaggio 2.4.1.2

Rimuovi le parentesi.

$y - 2, 1$

Passaggio 2.4.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y - 2$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica per $y - 2$ ciascun termine in $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ per $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = x^{2} (y - 2)$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 2.4.2.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

Passaggio 2.4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

Passaggio 2.4.3.2

Somma $2 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

Passaggio 2.4.3.3

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3.3.1.2

Dividi $2$ per $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ per $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ per $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{x - 2}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{x - 2}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ come $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.4.6.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.6

Riscrivi ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ come $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.6.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.7

Elimina il fattore comune di $x - 2$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.7.1

Moltiplica per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.7.2.1

Scomponi $x - 2$ da ${(x - 2)}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Passaggio 4.2.3.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

Passaggio 4.3.4

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 4.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$