Calcolo Esempi

$| 8 - x^{2} |$

Passaggio 1

Scrivi $| 8 - x^{2} |$ come funzione.

$f (x) = | 8 - x^{2} |$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Passaggio 2.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Passaggio 2.2.6.2

$- 2$ e $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Passaggio 2.2.6.3

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Sposta $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.4

Scomponi $2 x$ da $16 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Scomponi $2 x$ da $16 x$ .

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 2.3.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (8 - x^{2})$ e $g (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x (8 - x^{2})) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- (2 x)) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- 2 x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{1 + 1} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \cdot 1) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Moltiplica $8 - x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + 8 - x^{2}) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.8.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.9.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ e $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + 1 (\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}) \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.6.2

Moltiplica $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (2 x))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.8.1

$2$ e $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) x)}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.10.8.2

$x$ e $\frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x (2 ((8 - x^{2}) x))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{1 + 1} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.14

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.15

$- 2$ e $\frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8 + 2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8)) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2}) + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.3

Sposta $8$ alla sinistra di $| 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + 8 \cdot | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.5

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.6

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1.7.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot 16 + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.2

Sposta $16$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 \cdot x^{2} + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1.7.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{4})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.6

Scomponi $2 x^{2}$ da $16 x^{2} - 2 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1.7.6.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.6.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.7.6.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.8

Moltiplica $\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ per $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2}) (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1.9.1

Eleva $8 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.9.2

Eleva $8 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.9.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{1 + 1}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.9.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.10

Moltiplica $2 \frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.1.10.1

$2$ e $\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 (2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.1.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 (x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.2

Per scrivere $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | - 6 | 8 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.3

$- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ e $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.1.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.1.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.1.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.2.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.2.2

Eleva $8 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.2.3

Eleva $8 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.1

Riscrivi ${(8 - x^{2})}^{2}$ come $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.2

Espandi $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.3.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.4

Riscrivi ${(8 - x^{2})}^{2}$ come $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 ((8 - x^{2}) (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.5

Espandi $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.6.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 16 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 \cdot 64 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.5.3.8.1

Moltiplica $2$ per $64$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.5.3.8.2

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.6

Per scrivere $16 | 8 - x^{2} |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.1

Scomponi $2$ da $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.1.1

Scomponi $2$ da $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.1.2

Scomponi $2$ da $2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.1.3

Scomponi $2$ da $2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.2

Moltiplica $8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.2.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.2.2

Eleva $8 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.2.3

Eleva $8 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.3

Riscrivi ${(8 - x^{2})}^{2}$ come $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.4

Espandi $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.5.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.5.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.5.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} |) + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.7.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.7.2

Sposta $128$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.8.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.8.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.4.8.8.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 (x^{4} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{4 + 2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.4.8.8.2.3

Somma $4$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.5.1

Riscrivi $\frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}})$

Passaggio 3.17.5.2

Moltiplica $\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}$ per $\frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.5.3

Moltiplica $| 8 - x^{2} |$ per ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.5.3.1

Moltiplica $| 8 - x^{2} |$ per ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.5.3.1.1

Eleva $| 8 - x^{2} |$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Passaggio 3.17.5.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.17.5.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Passaggio 5.1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Passaggio 5.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Passaggio 5.1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Passaggio 5.1.2.6.2

$- 2$ e $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Passaggio 5.1.2.6.3

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.2.1

Sposta $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.4

Scomponi $2 x$ da $16 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.4.1

Scomponi $2 x$ da $16 x$ .

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.1.3.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (8 - x^{2}) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$8 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.3

Imposta $8 - x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $8 - x^{2}$ uguale a $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Risolvi $8 - x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 8$

Passaggio 6.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Passaggio 6.3.3.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{8}$

Passaggio 6.3.3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.4.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.4.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 6.3.3.2.4.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 6.3.3.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 6.3.3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 6.3.3.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 6.3.3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (8 - x^{2}) = 0$ vera.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 6.4

Escludi le soluzioni che non rendono $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| 8 - x^{2} | = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$8 - x^{2} = \pm 0$

Passaggio 7.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Passaggio 7.2.3

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 8$

Passaggio 7.2.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.2.4.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Passaggio 7.2.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{8}$

Passaggio 7.2.6

Semplifica $\pm \sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 7.2.6.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 7.2.6.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.2.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.2.7.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.2.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2 \sqrt{2}, x = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | - 3 {(0)}^{2} | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 128 {(0)}^{2} - 32 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{6})}{{| 8 - {(0)}^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.1.2

Moltiplica $- 16$ per $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Somma $64$ e $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Somma $64$ e $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $64$ è $64$ .

$- \frac{2 (8 \cdot 64 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $8$ per $64$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.8.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.8.2

Moltiplica $- 16$ per $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.8.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.9

Somma $64$ e $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.10

Somma $64$ e $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.11

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $64$ è $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 \cdot 64 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.12

Moltiplica $0$ per $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.13

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.14

Moltiplica $128$ per $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.15

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.16

Moltiplica $- 32$ per $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.17

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.18

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.19

Somma $512 + 0 + 0 + 0$ e $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.20

Somma $512 + 0 + 0$ e $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.21

Somma $512 + 0$ e $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.1.22

Somma $512$ e $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0 |}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 + 0 |}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Somma $8$ e $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 |}^{3}}$

Passaggio 10.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $8$ è $8$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{8^{3}}$

Passaggio 10.2.5

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{512}$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $2$ per $512$ .

$- \frac{1024}{512}$

Passaggio 10.3.2

Dividi $1024$ per $512$ .

$- 1 \cdot 2$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = | 8 - {(0)}^{2} |$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = | 8 - 0 |$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = | 8 + 0 |$

Passaggio 12.2.2

Somma $8$ e $0$ .

$f (0) = | 8 |$

Passaggio 12.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $8$ è $8$ .

$f (0) = 8$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 2 \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | + 128 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 32 {(- 2 \sqrt{2})}^{4} + 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{6})}{{| 8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2} |}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{2}$ .

Passaggio 14.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

Passaggio 14.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

Passaggio 14.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Passaggio 14.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

Passaggio 14.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 14.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

Passaggio 14.1.3.5

Calcola l'esponente.

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- (4 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

Passaggio 14.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

Passaggio 14.2

Sottrai $8$ da $8$ .

Passaggio 14.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

Passaggio 14.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

Passaggio 14.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 5$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ nella derivata prima $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = - \frac{2 (- 5) (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 25 |}$

Passaggio 15.2.2.2.3

Sottrai $25$ da $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| - 17 |}$

Passaggio 15.2.2.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 17$ e $0$ è $17$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{17}$

Passaggio 15.2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.3.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Passaggio 15.2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 25)}{17}$

Passaggio 15.2.2.3.3

Sottrai $25$ da $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 \cdot - 17}{17}$

Passaggio 15.2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Moltiplica $- 10$ per $- 17$ .

$f' (- 5) = - \frac{170}{17}$

Passaggio 15.2.2.4.2

Dividi $170$ per $17$ .

$f' (- 5) = - 1 \cdot 10$

Passaggio 15.2.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (- 5) = - 10$

Passaggio 15.2.2.5

La risposta finale è $- 10$ .

$- 10$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dell'intervallo $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ nella derivata prima $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 - {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + (- 1) {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 15.3.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{1 + 2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 15.3.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 15.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 15.3.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Passaggio 15.3.2.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Passaggio 15.3.2.3.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{3} |}$

Passaggio 15.3.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - 1 |}$

Passaggio 15.3.2.3.3

Sottrai $1$ da $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 7 |}$

Passaggio 15.3.2.3.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $7$ è $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{7}$

Passaggio 15.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 - 1)}{7}$

Passaggio 15.3.2.4.2

Sottrai $1$ da $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Passaggio 15.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{7}$

Passaggio 15.3.2.5.2

Dividi $- 14$ per $7$ .

$f' (- 1) = 2$

Passaggio 15.3.2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Passaggio 15.3.2.6

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2 \sqrt{2})$ nella derivata prima $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{2 (1) (8 - {(1)}^{2})}{| 8 - {(1)}^{2} |}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1^{2} |}$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 \cdot 1 |}$

Passaggio 15.4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 |}$

Passaggio 15.4.2.2.3

Sottrai $1$ da $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 7 |}$

Passaggio 15.4.2.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $7$ è $7$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{7}$

Passaggio 15.4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1 \cdot 1)}{7}$

Passaggio 15.4.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1)}{7}$

Passaggio 15.4.2.3.3

Sottrai $1$ da $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot 7}{7}$

Passaggio 15.4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f' (1) = - \frac{14}{7}$

Passaggio 15.4.2.4.2

Dividi $14$ per $7$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 15.4.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (1) = - 2$

Passaggio 15.4.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 15.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(2 \sqrt{2}, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - \frac{2 (5) (8 - {(5)}^{2})}{| 8 - {(5)}^{2} |}$

Passaggio 15.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 5^{2} |}$

Passaggio 15.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Passaggio 15.5.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 25 |}$

Passaggio 15.5.2.2.3

Sottrai $25$ da $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| - 17 |}$

Passaggio 15.5.2.2.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 17$ e $0$ è $17$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{17}$

Passaggio 15.5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Passaggio 15.5.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 25)}{17}$

Passaggio 15.5.2.3.3

Sottrai $25$ da $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 \cdot - 17}{17}$

Passaggio 15.5.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.4.1

Moltiplica $10$ per $- 17$ .

$f' (5) = - \frac{- 170}{17}$

Passaggio 15.5.2.4.2

Dividi $- 170$ per $17$ .

$f' (5) = 10$

Passaggio 15.5.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$f' (5) = 10$

Passaggio 15.5.2.5

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 2 \sqrt{2}$ , allora $x = - 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale.

$x = - 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 15.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2 \sqrt{2}$ , allora $x = 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale.

$x = 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$x = - 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale

$x = - 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2 \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 16