Calcolo Esempi

$2 x + \frac{900000}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $2 x + \frac{900000}{x}$ come funzione.

$f (x) = 2 x + \frac{900000}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + \frac{900000}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $900000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{900000}{x}$ rispetto a $x$ è $900000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 900000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 + 900000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 + 900000 (- x^{- 2})$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $900000$ .

$2 - 900000 x^{- 2}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 900000 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

$- 900000$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 900000}{x^{2}}$

Passaggio 2.5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 - \frac{900000}{x^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$- \frac{900000}{x^{2}} + 2$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{900000}{x^{2}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{900000}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{900000}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{900000}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 900000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{900000}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 900000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 900000 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 900000 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 900000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 900000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 900000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 900000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 900000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 900000 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 900000 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 900000 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 900000 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = - 900000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 900000$ .

$f'' (x) = 1800000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 1800000 x^{- 3} + 0$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1800000 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$1800000$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1800000}{x^{3}} + 0$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $\frac{1800000}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1800000}{x^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{900000}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + \frac{900000}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{900000}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $900000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{900000}{x}$ rispetto a $x$ è $900000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 900000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 5.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 + 900000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 + 900000 (- x^{- 2})$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $900000$ .

$2 - 900000 x^{- 2}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 900000 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1.1

$- 900000$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 900000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 - \frac{900000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{900000}{x^{2}} + 2$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{900000}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{900000}{x^{2}} + 2$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{900000}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{900000}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{900000}{x^{2}} = - 2$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{900000}{x^{2}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{900000}{x^{2}} = - 2$ per $x^{2}$ .

$- \frac{900000}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{900000}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 900000}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 900000}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 900000 = - 2 x^{2}$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 x^{2} = - 900000$ .

$- 2 x^{2} = - 900000$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 900000$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 900000$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 900000}{- 2}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 900000}{- 2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 900000}{- 2}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Dividi $- 900000$ per $- 2$ .

$x^{2} = 450000$

Passaggio 6.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{450000}$

Passaggio 6.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{450000}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Riscrivi $450000$ come $300^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1

Scomponi $90000$ da $450000$ .

$x = \pm \sqrt{90000 (5)}$

Passaggio 6.5.4.1.2

Riscrivi $90000$ come $300^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{300^{2} \cdot 5}$

Passaggio 6.5.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 300 \sqrt{5}$

Passaggio 6.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 300 \sqrt{5}$

Passaggio 6.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 300 \sqrt{5}$

Passaggio 6.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 300 \sqrt{5}, - 300 \sqrt{5}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{900000}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 300 \sqrt{5}, - 300 \sqrt{5}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 300 \sqrt{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1800000}{{(300 \sqrt{5})}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $300 \sqrt{5}$ .

$\frac{1800000}{300^{3} {\sqrt{5}}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $300$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1800000}{27000000 {\sqrt{5}}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{3}$ come $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1800000}{27000000 \sqrt{5^{3}}}$

Passaggio 10.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1800000}{27000000 \sqrt{125}}$

Passaggio 10.1.5

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.5.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{1800000}{27000000 \sqrt{25 (5)}}$

Passaggio 10.1.5.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{1800000}{27000000 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}$

Passaggio 10.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1800000}{27000000 \cdot 5 \sqrt{5}}$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica $27000000$ per $5$ .

$\frac{1800000}{135000000 \sqrt{5}}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $1800000$ e $135000000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $1800000$ da $1800000$ .

$\frac{1800000 (1)}{135000000 \sqrt{5}}$

Passaggio 10.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $1800000$ da $135000000 \sqrt{5}$ .

$\frac{1800000 (1)}{1800000 (75 \sqrt{5})}$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1800000 \cdot 1}{1800000 (75 \sqrt{5})}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{75 \sqrt{5}}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $\frac{1}{75 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{75 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 10.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $\frac{1}{75 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 10.4.2

Sposta $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Passaggio 10.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Passaggio 10.4.4

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Passaggio 10.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{5}}{75 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 10.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 10.4.7

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 10.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 10.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{1}}$

Passaggio 10.4.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5}$

Passaggio 10.5

Moltiplica $75$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{375}$

Passaggio 11

$x = 300 \sqrt{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 300 \sqrt{5}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 300 \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $300 \sqrt{5}$ nell'espressione.

$f (300 \sqrt{5}) = 2 (300 \sqrt{5}) + \frac{900000}{300 \sqrt{5}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $300$ per $2$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{900000}{300 \sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.2

Elimina il fattore comune di $900000$ e $300$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.2.1

Scomponi $300$ da $900000$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{300 \cdot 3000}{300 \sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.2.2.1

Scomponi $300$ da $300 \sqrt{5}$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{300 \cdot 3000}{300 (\sqrt{5})}$

Passaggio 12.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{300 \cdot 3000}{300 \sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000}{\sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $\frac{3000}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{3000}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 12.2.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 12.2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 12.2.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.2.1.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 12.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 12.2.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 12.2.1.4.6.5

Calcola l'esponente.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{3000 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 12.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3000$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Scomponi $5$ da $3000 \sqrt{5}$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{5 (600 \sqrt{5})}{5}$

Passaggio 12.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{5 (600 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Passaggio 12.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{5 (600 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + \frac{600 \sqrt{5}}{1}$

Passaggio 12.2.1.5.2.4

Dividi $600 \sqrt{5}$ per $1$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 600 \sqrt{5} + 600 \sqrt{5}$

Passaggio 12.2.2

Somma $600 \sqrt{5}$ e $600 \sqrt{5}$ .

$f (300 \sqrt{5}) = 1200 \sqrt{5}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $1200 \sqrt{5}$ .

$y = 1200 \sqrt{5}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 300 \sqrt{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1800000}{{(- 300 \sqrt{5})}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 300 \sqrt{5}$ .

$\frac{1800000}{{(- 300)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $- 300$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1800000}{- 27000000 {\sqrt{5}}^{3}}$

Passaggio 14.1.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{3}$ come $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1800000}{- 27000000 \sqrt{5^{3}}}$

Passaggio 14.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1800000}{- 27000000 \sqrt{125}}$

Passaggio 14.1.5

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.5.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{1800000}{- 27000000 \sqrt{25 (5)}}$

Passaggio 14.1.5.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{1800000}{- 27000000 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}$

Passaggio 14.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1800000}{- 27000000 \cdot 5 \sqrt{5}}$

Passaggio 14.1.7

Moltiplica $- 27000000$ per $5$ .

$\frac{1800000}{- 135000000 \sqrt{5}}$

Passaggio 14.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune di $1800000$ e $- 135000000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Scomponi $1800000$ da $1800000$ .

$\frac{1800000 (1)}{- 135000000 \sqrt{5}}$

Passaggio 14.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Scomponi $1800000$ da $- 135000000 \sqrt{5}$ .

$\frac{1800000 (1)}{1800000 (- 75 \sqrt{5})}$

Passaggio 14.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1800000 \cdot 1}{1800000 (- 75 \sqrt{5})}$

Passaggio 14.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 75 \sqrt{5}}$

Passaggio 14.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{75 \sqrt{5}}$

Passaggio 14.3

Moltiplica $\frac{1}{75 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$- (\frac{1}{75 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 14.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Moltiplica $\frac{1}{75 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 14.4.2

Sposta $\sqrt{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Passaggio 14.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Passaggio 14.4.4

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Passaggio 14.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\sqrt{5}}{75 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 14.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 {\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 14.4.7

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 14.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 14.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5^{1}}$

Passaggio 14.4.7.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{\sqrt{5}}{75 \cdot 5}$

Passaggio 14.5

Moltiplica $75$ per $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{375}$

Passaggio 15

$x = - 300 \sqrt{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 300 \sqrt{5}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 300 \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 300 \sqrt{5}$ nell'espressione.

$f (- 300 \sqrt{5}) = 2 (- 300 \sqrt{5}) + \frac{900000}{- 300 \sqrt{5}}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Moltiplica $- 300$ per $2$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} + \frac{900000}{- 300 \sqrt{5}}$

Passaggio 16.2.1.2

Elimina il fattore comune di $900000$ e $- 300$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.1

Scomponi $300$ da $900000$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} + \frac{300 (3000)}{- 300 \sqrt{5}}$

Passaggio 16.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.2.2.1

Scomponi $300$ da $- 300 \sqrt{5}$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} + \frac{300 (3000)}{300 (- \sqrt{5})}$

Passaggio 16.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} + \frac{300 \cdot 3000}{300 (- \sqrt{5})}$

Passaggio 16.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} + \frac{3000}{- \sqrt{5}}$

Passaggio 16.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000}{\sqrt{5}}$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $\frac{3000}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - (\frac{3000}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 16.2.1.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.1

Moltiplica $\frac{3000}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 16.2.1.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 16.2.1.5.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 16.2.1.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 16.2.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 16.2.1.5.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 16.2.1.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 16.2.1.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 16.2.1.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 16.2.1.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 16.2.1.5.6.5

Calcola l'esponente.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{3000 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 16.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3000$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.6.1

Scomponi $5$ da $3000 \sqrt{5}$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{5 (600 \sqrt{5})}{5}$

Passaggio 16.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.6.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{5 (600 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Passaggio 16.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{5 (600 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Passaggio 16.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - \frac{600 \sqrt{5}}{1}$

Passaggio 16.2.1.6.2.4

Dividi $600 \sqrt{5}$ per $1$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - (600 \sqrt{5})$

Passaggio 16.2.1.7

Moltiplica $600$ per $- 1$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 600 \sqrt{5} - 600 \sqrt{5}$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $600 \sqrt{5}$ da $- 600 \sqrt{5}$ .

$f (- 300 \sqrt{5}) = - 1200 \sqrt{5}$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 1200 \sqrt{5}$ .

$y = - 1200 \sqrt{5}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x + \frac{900000}{x}$ .

$(300 \sqrt{5}, 1200 \sqrt{5})$ è un minimo locale

$(- 300 \sqrt{5}, - 1200 \sqrt{5})$ è un massimo locale

Passaggio 18