Calcolo Esempi

$\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$ come funzione.

$f (x) = \frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $x^{2} - 5 x + 6$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2.11

Somma $2 x - 5$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x - - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Espandi $(- x + 2) (2 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Somma $5 x$ e $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x + 6 + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.3

Somma $- 5 x$ e $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x + 6 - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.4

Sottrai $10$ da $6$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e la cui somma è $b = 4$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.3.4.1

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 2.3.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 3) (x - 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.4

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.5

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.6

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ come ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + 0$

Passaggio 3.4.7.2

Somma $2 {(x - 3)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Passaggio 3.5.2

$2$ e $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 6

Nessun estremo locale

Passaggio 7