Calcolo Esempi

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Passaggio 1

Scrivi $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ come funzione.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.5

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.6

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.9

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.10

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- 2 \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Passaggio 5

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 7

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\sin (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (0)$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 7.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - 0$

Passaggio 7.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = π$

Passaggio 7.2.5

La soluzione dell'equazione $θ = 0$ .

$θ = 0, π$

Passaggio 8

Imposta $- \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $- \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $- \cos (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (θ) = 1$

Passaggio 8.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 8.2.2.2.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 8.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Passaggio 8.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (- 1)$

Passaggio 8.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$θ = π$

Passaggio 8.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π - π$

Passaggio 8.2.6

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$θ = π$

Passaggio 8.2.7

La soluzione dell'equazione $θ = π$ .

$θ = π, π$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ vera.

$θ = 0, π$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $θ = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Passaggio 11.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + 0 - 2$

Passaggio 11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2 - 2$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$- 4$

Passaggio 12

$θ = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$θ = 0$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $θ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Passaggio 13.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (0) = 2 + \cos^{2} (0)$

Passaggio 13.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 2 + 1^{2}$

Passaggio 13.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (0) = 2 + 1$

Passaggio 13.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $θ = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.9

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (π)$

Passaggio 15.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 + 0 - 2 (- \cos (0))$

Passaggio 15.1.11

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 + 0 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.1.12

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 15.1.12.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 + 0 + 2$

Passaggio 15.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 15.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 16

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $θ$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Passaggio 16.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 16.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1.1

Calcola $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 16.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 16.2.2.1.3

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742 - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 16.2.2.1.4

Moltiplica $0.83229367$ per $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Passaggio 16.2.2.1.5

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Passaggio 16.2.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 + 1.81859485$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $- 0.75680249$ e $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 1.06179235$

Passaggio 16.2.2.3

La risposta finale è $1.06179235$ .

$1.06179235$

Passaggio 16.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, π)$ nella derivata prima $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2) - 2 \sin (2)$

Passaggio 16.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.1.1

Calcola $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 2 \sin (2)$

Passaggio 16.3.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2) - 2 \sin (2)$

Passaggio 16.3.2.1.3

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742 - 2 \sin (2)$

Passaggio 16.3.2.1.4

Moltiplica $0.83229367$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Passaggio 16.3.2.1.5

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Passaggio 16.3.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 1.81859485$

Passaggio 16.3.2.2

Sottrai $1.81859485$ da $0.75680249$ .

$f' (2) = - 1.06179235$

Passaggio 16.3.2.3

La risposta finale è $- 1.06179235$ .

$- 1.06179235$

Passaggio 16.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dall'intervallo $(π, \infty)$ nella derivata prima $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6) - 2 \sin (6)$

Passaggio 16.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.2.1.1

Calcola $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6)) - 2 \sin (6)$

Passaggio 16.4.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0.96017028$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6) - 2 \sin (6)$

Passaggio 16.4.2.1.3

Calcola $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549 - 2 \sin (6)$

Passaggio 16.4.2.1.4

Moltiplica $- 1.92034057$ per $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \sin (6)$

Passaggio 16.4.2.1.5

Calcola $\sin (6)$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \cdot - 0.27941549$

Passaggio 16.4.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 + 0.55883099$

Passaggio 16.4.2.2

Somma $0.53657291$ e $0.55883099$ .

$f' (6) = 1.09540391$

Passaggio 16.4.2.3

La risposta finale è $1.09540391$ .

$1.09540391$

Passaggio 16.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $θ = 0$ , allora $θ = 0$ è un massimo locale.

$θ = 0$ è un massimo locale

Passaggio 16.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $θ = π$ , allora $θ = π$ è un minimo locale.

$θ = π$ è un minimo locale

Passaggio 16.7

Questi sono gli estremi locali per $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ .

$θ = 0$ è un massimo locale

$θ = π$ è un minimo locale

$θ = 0$ è un massimo locale

$θ = π$ è un minimo locale

Passaggio 17