Calcolo Esempi

$p (t) = \frac{500 t}{2 t^{2} + 9}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = 500 t$ e $g (t) = 2 t^{2} + 9$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \frac{d}{d t} [500 t] - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $500$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $500 t$ rispetto a $t$ è $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \cdot 1) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $500$ per $1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{2} + 9$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{2}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $4 t$ e $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} \cdot 500 + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $500$ per $2$ .

$\frac{1000 t^{2} + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $9$ per $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.4.1

Sposta $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 500 \cdot 4$ .

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Passaggio 5.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.5.2

Moltiplica $- 500$ per $4$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 2000 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2000 t^{2}$ da $1000 t^{2}$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $500$ da $- 1000 t^{2} + 4500$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $500$ da $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $500$ da $4500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $500$ da $500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $9$ come $- 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 t^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $- (2 t^{2} - 9)$ come $- 1 (2 t^{2} - 9)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$