Calcolo Esempi

$\frac{c x + a}{a x + b}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ è $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ dove $f (c) = c x + a$ e $g (c) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d c} [c x + a] - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $c x + a$ rispetto a $c$ è $\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d c} [c x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $c x$ rispetto a $c$ è $x \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(a x + b) (x \frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ è $n c^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (x \cdot 1 + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(a x + b) (x + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $a$ rispetto a $c$ è $0$ .

$\frac{(a x + b) (x + 0) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x + b$ rispetto a $c$ è $\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b]$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $a x$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $a x$ rispetto a $c$ è $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $b$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $b$ rispetto a $c$ è $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a x \cdot x + b x + (- (c x) - a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{a (x \cdot x) + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica $- c x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 c x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Moltiplica $0$ per $c$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2.3

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3

Moltiplica $- a \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0 a}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.2

Moltiplica $0$ per $a$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Combina i termini opposti in $a x^{2} + b x + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Somma $a x^{2} + b x$ e $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $a x^{2} + b x$ e $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x}{{(a x + b)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} a + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Scomponi $x$ da $x^{2} a + b x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2} a$ .

$\frac{x (x a) + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $x$ da $b x$ .

$\frac{x (x a) + x b}{{(b + a x)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $x$ da $x (x a) + x b$ .

$\frac{x (x a + b)}{{(b + a x)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $x a + b$ e ${(b + a x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Riordina i termini.

$\frac{x (b + a x)}{{(b + a x)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2

Scomponi $b + a x$ da $x (b + a x)$ .

$\frac{(b + a x) x}{{(b + a x)}^{2}}$

Passaggio 5.7.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Scomponi $b + a x$ da ${(b + a x)}^{2}$ .

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Passaggio 5.7.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Passaggio 5.7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{b + a x}$