Calcolo Esempi

$8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Scrivi $8 \sin (x) \cos (x)$ come un'equazione.

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci $\frac{π}{3}$ a $x$ .

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y = 2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 4 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$y = 4 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.4.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{3}$ .

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{3}$ e $y = 2 \sqrt{3}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.7

Somma $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 3.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 3.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 3.12

Somma $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 3.13

Semplifica.

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Passaggio 3.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.13.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.14

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15

Semplifica.

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Passaggio 3.15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.15.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.15.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.15.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.3.5

Calcola l'esponente.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.15.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.15.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 3.15.1.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.15.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 3.15.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Passaggio 3.15.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.15.1.11.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Passaggio 3.15.1.11.2

Elimina il fattore comune.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Passaggio 3.15.1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- 6 + 2$

Passaggio 3.15.2

Somma $- 6$ e $2$ .

$- 4$

Passaggio 4

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 4$ e un punto dato $(\frac{π}{3}, 2 \sqrt{3})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 \sqrt{3}) = - 4 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 4.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.3.1

Semplifica $- 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 \sqrt{3} = 0 + 0 - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x - 4 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $- 4 (- \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + 4 \frac{π}{3}$

Passaggio 4.3.1.4.2

$4$ e $\frac{π}{3}$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + \frac{4 π}{3}$

Passaggio 4.3.2

Somma $2 \sqrt{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Per scrivere $2 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.3.3.2

$2 \sqrt{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - 4 x + \frac{4 π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.3.3.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π + 6 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5