Calcolo Esempi

${(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 7$ e $g (x) = 6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot (6 x + 3) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $6$ per $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + 0)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Somma $6$ e $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) \cdot 6}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $- 6$ per $- 7$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Combina i termini opposti in $18 x + 9 - 18 x + 42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $18 x$ da $18 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{0 + 9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $0$ e $9$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Somma $9$ e $42$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $3$ da $6 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3 (1))}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x + 1))}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Applica la regola del prodotto a $3 (2 x + 1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{3^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $51$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $3$ da $51$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $3$ da $9 {(2 x + 1)}^{2}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot 17}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Passaggio 4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 \frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$4$ e $\frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \cdot \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ per $\frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3} \cdot 17}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $17$ per $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Passaggio 5.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(6 x + 3)}^{3}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(6 x + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $3$ da $6 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3 (1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x + 1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a $3 (2 x + 1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $3$ per $3^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $3^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1} \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1 + 3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica ${(2 x + 1)}^{3}$ per ${(2 x + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sposta ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} ({(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{3})}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{2 + 3}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{5}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{81 {(2 x + 1)}^{5}}$