Calcolo Esempi

$2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = 2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 16 \frac{1}{x}$

Passaggio 2.1.3.3

$- 16$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 16}{x}$

Passaggio 2.1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 4 x - \frac{16}{x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x - \frac{16}{x}$ .

$4 x - \frac{16}{x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x - \frac{16}{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x - \frac{16}{x} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $4 x - \frac{16}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $4 x - \frac{16}{x} = 0$ per $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{16}{x} x = 0 x$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{16}{x} x = 0 x$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} - \frac{16}{x} x = 0 x$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{16}{x}$ nel numeratore.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} - 16 = 0 x$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} = 16$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 16$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 16$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $16$ per $4$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 3.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 3.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 3.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 3.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2, - 2$ .

$2, - 2$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $\frac{16}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 7

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 4 (- 1) - \frac{16}{- 1}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - \frac{16}{- 1}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $16$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 4$ e $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 9

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 2)$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 4 (1) - \frac{16}{1}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = 4 - \frac{16}{1}$

Passaggio 10.2.1.2

Dividi $16$ per $1$ .

$f' (1) = 4 - 1 \cdot 16$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $16$ da $4$ .

$f' (1) = - 12$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 11

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, 2), (2, \infty)$

Passaggio 12

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 4 (3) - \frac{16}{3}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (3) = 12 - \frac{16}{3}$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 12.2.3

$12$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3 - 16}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $12$ per $3$ .

$f' (3) = \frac{36 - 16}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Sottrai $16$ da $36$ .

$f' (3) = \frac{20}{3}$

Passaggio 12.2.6

La risposta finale è $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Passaggio 12.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $\frac{20}{3}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 13

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(2, \infty)$

Decrescente su: $(0, 2)$

Passaggio 14