Calcolo Esempi

$1 + \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $1 + \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 2.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 2.1.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 2.1.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 2.1.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 6 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 2.1.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$0 - 5 x^{- 2} + 12 x^{- 3}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 12 x^{- 3}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.1

$- 5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{5}{x^{2}} + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.3.3

Sottrai $\frac{5}{x^{2}}$ da $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + 12 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.3.4

$12$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $x^{2}, x^{3}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{2}, x^{3}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 3.2.6

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 3.2.7

I fattori di $x^{3}$ sono $x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $3$ volte.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{2}, x^{3}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x$

Passaggio 3.2.9

Semplifica $x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Passaggio 3.2.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Passaggio 3.2.9.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1}$

Passaggio 3.2.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}} = 0$ per $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{12}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{12}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{12}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{12}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 5 x + \frac{12}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 x + \frac{12}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 x + 12 = 0 x^{3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{3}$ .

$- 5 x + 12 = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 x = - 12$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 x = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 x = - 12$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 5}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{12}{5}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{12}{5}$ .

$\frac{12}{5}$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{5}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3

Imposta il denominatore in $\frac{12}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{5}) \cup (\frac{12}{5}, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}} + \frac{12}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{5}{1} + \frac{12}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 1 \cdot 5 + \frac{12}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (- 1) = - 5 + \frac{12}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - 5 + \frac{12}{- 1}$

Passaggio 7.2.1.5

Dividi $12$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 5 - 12$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $12$ da $- 5$ .

$f' (- 1) = - 17$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 17$ .

$- 17$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 17$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{12}{5})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.2$ nell'espressione.

$f' (1.2) = - \frac{5}{{(1.2)}^{2}} + \frac{12}{{(1.2)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $1.2$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.2) = - \frac{5}{1.44} + \frac{12}{{(1.2)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $5$ per $1.44$ .

$f' (1.2) = - 1 \cdot 3.47\overline{2} + \frac{12}{{(1.2)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3.47\overline{2}$ .

$f' (1.2) = - 3.47\overline{2} + \frac{12}{{(1.2)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.4

Eleva $1.2$ alla potenza di $3$ .

$f' (1.2) = - 3.47\overline{2} + \frac{12}{1.728}$

Passaggio 8.2.1.5

Dividi $12$ per $1.728$ .

$f' (1.2) = - 3.47\overline{2} + 6.9\overline{4}$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 3.47\overline{2}$ e $6.9\overline{4}$ .

$f' (1.2) = 3.47\overline{2}$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $3.47\overline{2}$ .

$3.47\overline{2}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1.2$ la derivata è $3.47\overline{2}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \frac{12}{5})$ .

Crescente su $(0, \frac{12}{5})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{12}{5}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.4$ nell'espressione.

$f' (3.4) = - \frac{5}{{(3.4)}^{2}} + \frac{12}{{(3.4)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $3.4$ alla potenza di $2$ .

$f' (3.4) = - \frac{5}{11.56} + \frac{12}{{(3.4)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $5$ per $11.56$ .

$f' (3.4) = - 1 \cdot 0.43252595 + \frac{12}{{(3.4)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0.43252595$ .

$f' (3.4) = - 0.43252595 + \frac{12}{{(3.4)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.4

Eleva $3.4$ alla potenza di $3$ .

$f' (3.4) = - 0.43252595 + \frac{12}{39.304}$

Passaggio 9.2.1.5

Dividi $12$ per $39.304$ .

$f' (3.4) = - 0.43252595 + 0.30531243$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 0.43252595$ e $0.30531243$ .

$f' (3.4) = - 0.12721351$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $- 0.12721351$ .

$- 0.12721351$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 3.4$ la derivata è $- 0.12721351$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{12}{5}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{12}{5}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \frac{12}{5})$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (\frac{12}{5}, \infty)$

Passaggio 11