Calcolo Esempi

$0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ come funzione.

$f (x) = 0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $0.05$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.05 x$ rispetto a $x$ è $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $0.05$ per $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $500$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{500}{x}$ rispetto a $x$ è $500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 500 (- x^{- 2})$

Passaggio 2.1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $500$ .

$0.05 + 0 - 500 x^{- 2}$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Somma $0.05$ e $0$ .

$0.05 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.5.2.2

$- 500$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 500}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0.05 - \frac{500}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $0.05$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$

Passaggio 3.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 3.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 3.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ per $x^{2}$ .

$- \frac{500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{500}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 500 = - 0.05 x^{2}$

Passaggio 3.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 0.05 x^{2} = - 500$ .

$- 0.05 x^{2} = - 500$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $- 0.05$ ciascun termine in $- 0.05 x^{2} = - 500$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $- 0.05$ ciascun termine in $- 0.05 x^{2} = - 500$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.05$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Dividi $- 500$ per $- 0.05$ .

$x^{2} = 10000$

Passaggio 3.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{10000}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{10000}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Riscrivi $10000$ come $100^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{100^{2}}$

Passaggio 3.5.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 100$

Passaggio 3.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 100$

Passaggio 3.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 100$

Passaggio 3.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 100, - 100$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $100, - 100$ .

$100, - 100$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{500}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 100) \cup (- 100, 0) \cup (0, 100) \cup (100, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 100)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 101$ nell'espressione.

$f' (- 101) = - \frac{500}{{(- 101)}^{2}} + 0.05$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Eleva $- 101$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $0.05$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Passaggio 7.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

$0.05$ e $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Passaggio 7.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $0.05$ per $10201$ .

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Passaggio 7.2.4.2

Somma $- 500$ e $510.05$ .

$f' (- 101) = \frac{10.05}{10201}$

Passaggio 7.2.5

Dividi $10.05$ per $10201$ .

$f' (- 101) = 0.00098519$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $0.00098519$ .

$0.00098519$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 101$ la derivata è $0.00098519$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 100)$ .

Crescente su $(- \infty, - 100)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 100, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 50$ nell'espressione.

$f' (- 50) = - \frac{500}{{(- 50)}^{2}} + 0.05$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $- 50$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Passaggio 8.2.1.2

Elimina il fattore comune di $500$ e $2500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Scomponi $500$ da $500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Passaggio 8.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.2.1

Scomponi $500$ da $2500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Passaggio 8.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Passaggio 8.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Passaggio 8.2.2

Per scrivere $0.05$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 8.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

$0.05$ e $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Passaggio 8.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Passaggio 8.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica $0.05$ per $5$ .

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Passaggio 8.2.4.2

Somma $- 1$ e $0.25$ .

$f' (- 50) = \frac{- 0.75}{5}$

Passaggio 8.2.5

Dividi $- 0.75$ per $5$ .

$f' (- 50) = - 0.15$

Passaggio 8.2.6

La risposta finale è $- 0.15$ .

$- 0.15$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - 50$ la derivata è $- 0.15$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 100, 0)$ .

Decrescente su $(- 100, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 100)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $50$ nell'espressione.

$f' (50) = - \frac{500}{{(50)}^{2}} + 0.05$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $50$ alla potenza di $2$ .

$f' (50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Passaggio 9.2.1.2

Elimina il fattore comune di $500$ e $2500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Scomponi $500$ da $500$ .

$f' (50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Passaggio 9.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.2.1

Scomponi $500$ da $2500$ .

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Passaggio 9.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Passaggio 9.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Passaggio 9.2.2

Per scrivere $0.05$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 9.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

$0.05$ e $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Passaggio 9.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Passaggio 9.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Moltiplica $0.05$ per $5$ .

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Passaggio 9.2.4.2

Somma $- 1$ e $0.25$ .

$f' (50) = \frac{- 0.75}{5}$

Passaggio 9.2.5

Dividi $- 0.75$ per $5$ .

$f' (50) = - 0.15$

Passaggio 9.2.6

La risposta finale è $- 0.15$ .

$- 0.15$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 50$ la derivata è $- 0.15$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 100)$ .

Decrescente su $(0, 100)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(100, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $101$ nell'espressione.

$f' (101) = - \frac{500}{{(101)}^{2}} + 0.05$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $101$ alla potenza di $2$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Passaggio 10.2.2

Per scrivere $0.05$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Passaggio 10.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

$0.05$ e $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Passaggio 10.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Passaggio 10.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Moltiplica $0.05$ per $10201$ .

$f' (101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Passaggio 10.2.4.2

Somma $- 500$ e $510.05$ .

$f' (101) = \frac{10.05}{10201}$

Passaggio 10.2.5

Dividi $10.05$ per $10201$ .

$f' (101) = 0.00098519$

Passaggio 10.2.6

La risposta finale è $0.00098519$ .

$0.00098519$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 101$ la derivata è $0.00098519$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(100, \infty)$ .

Crescente su $(100, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 100), (100, \infty)$

Decrescente su: $(- 100, 0), (0, 100)$

Passaggio 12