Calcolo Esempi

$e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- 1.5 x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

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Passaggio 2.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Passaggio 2.1.3.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{- 1.5 x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{- 1.5 x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 1.5$ per $1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Passaggio 6.2.5

$3$ e $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

Passaggio 6.2.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Passaggio 6.2.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.5$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

Passaggio 6.2.8

Dividi $3$ per $4.48168907$ .

$f' (- 1) = 0.66939048$

Passaggio 6.2.9

La risposta finale è $0.66939048$ .

$0.66939048$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $0.66939048$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1.5$ per $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

Passaggio 7.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Passaggio 7.2.5

$- 3$ e $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

Passaggio 7.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

Passaggio 7.2.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Passaggio 7.2.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.5$ .

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

Passaggio 7.2.9

Dividi $3$ per $4.48168907$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

Passaggio 7.2.10

Moltiplica $- 1$ per $0.66939048$ .

$f' (1) = - 0.66939048$

Passaggio 7.2.11

La risposta finale è $- 0.66939048$ .

$- 0.66939048$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 0.66939048$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0)$

Decrescente su: $(0, \infty)$

Passaggio 9