Calcolo Esempi

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Passaggio 1.2.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $\ln (7 e^{x})$ come $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Passaggio 1.2.2.2

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Passaggio 1.2.2.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Passaggio 1.2.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $\ln (7 x e^{x})$ come $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\ln (7 x)$ come $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Passaggio 1.2.3.3

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Passaggio 1.2.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Passaggio 1.2.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Passaggio 1.2.6

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Passaggio 1.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Passaggio 1.2.8

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Passaggio 1.2.9

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Passaggio 1.2.10

Riscrivi $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2.11

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Passaggio 1.2.11.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Passaggio 1.2.11.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Passaggio 1.2.11.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x + y = 7 x e^{x}$

Passaggio 1.2.11.4

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $\frac{1}{x} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} = 1$ per $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Passaggio 1.2.11.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Passaggio 1.2.11.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = 1 x$

Passaggio 1.2.11.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.4.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 = x$

Passaggio 1.2.11.5

Riscrivi l'equazione come $x = 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 7 (1) \cdot e$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$y = 7 e$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 7 e)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Passaggio 3.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Passaggio 3.6

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Passaggio 3.7

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 7$ fuori dall'integrale.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Passaggio 3.8

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Calcola $x e^{x}$ per $1$ e per $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.9.2

Calcola $e^{x}$ per $1$ e per $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Passaggio 3.9.3

Calcola $e^{x}$ per $1$ e per $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.4.1

Semplifica.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.5

Somma $e$ e $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.6

Semplifica.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.9

Semplifica.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Passaggio 3.9.4.10

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.9.4.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Passaggio 3.10.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Passaggio 3.10.1.2

Sottrai $e$ da $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Passaggio 3.10.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Passaggio 3.10.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Passaggio 3.10.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Passaggio 3.10.1.6

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Passaggio 3.10.2

Somma $7$ e $7$ .

$14 - 7 e$

Passaggio 4