Calcolo Esempi

$y = 5 x - 10 \cos (x)$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 10 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$5 - 10 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$5 + 10 \sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 + 10 \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 \sin (x) = - 5$

Passaggio 3.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \sin (x) = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \sin (x) = - 5$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 5}{10}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\sin (x) = \frac{5 (- 1)}{10}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 3.6.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 3.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 3.8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 3.8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.8.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.8.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 3.8.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 3.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 3.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ con $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = 5 (\frac{7 π}{6}) - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $5 (\frac{7 π}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

$5$ e $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 (7 π)}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $7$ per $5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 5 (- \sqrt{3})$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ con $x = \frac{11 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{11 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = 5 (\frac{11 π}{6}) - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $5 (\frac{11 π}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$5$ e $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{5 (11 π)}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Moltiplica $11$ per $5$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 5.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 5.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 5.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ sono $y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Passaggio 7