Calcolo Esempi

$x y^{2} + x^{2} y = 6$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y^{2} + x^{2} y - 6 = 0$

Passaggio 1.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori $a = x$ , $b = x^{2}$ e $c = - 6$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- x^{2} \pm \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (x \cdot - 6)}}{2 x}$

Passaggio 1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $x$ da $x^{4} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Passaggio 1.4.3.2

Scomponi $x$ da $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Passaggio 1.4.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Passaggio 1.5.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Passaggio 1.5.5

Riscrivi $- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ come $- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Passaggio 1.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Passaggio 1.6.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Passaggio 1.6.1.3

Scomponi $x$ da $x^{4} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Passaggio 1.6.1.3.2

Scomponi $x$ da $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Passaggio 1.6.1.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.6.2

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.6.3

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.6.4

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Passaggio 1.6.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Passaggio 1.6.6

Riscrivi $- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ come $- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Passaggio 1.6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 1.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $x y^{2} + x^{2} y = 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} + x^{2} y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y (2 x)$

Passaggio 3.2.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + 2 y x$

Passaggio 3.2.4

Riordina i termini.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y$

Passaggio 3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = - y^{2}$

Passaggio 3.5.1.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $x y'$ da $2 x y y' + x^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x y'$ da $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' x = - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (2 y) + x y' x$ .

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $x (2 y + x)$ ciascun termine in $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $x (2 y + x)$ ciascun termine in $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 y}{2 y + x}$

Passaggio 3.5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x}$

Passaggio 3.5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y}{2 y + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 3.5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (2 y + x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y}{2 y + x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{(2 y + x) x}$

Passaggio 3.5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 y + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.5

Scomponi $y$ da $- y^{2} - 2 y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.5.2

Scomponi $y$ da $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.5.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.9.1

Riscrivi $- (y + 2 x)$ come $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.5.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$y (y + 2 x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y (y + 2 x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y (y + 2 x) = 0$ .

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Dividi $y + 2 x$ per $1$ .

$y + 2 x = \frac{0}{y}$

Passaggio 4.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Dividi $0$ per $y$ .

$y + 2 x = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - y$

Passaggio 4.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Passaggio 4.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y}{2}$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{y}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.8

Per scrivere $24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.9

$24$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.11

Moltiplica $24$ per $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.12.1

Moltiplica $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ per $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.12.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13

Riscrivi $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ come ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.13.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.2

Scomponi la potenza perfetta $4^{2}$ su $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.4

Riordina $- 1$ e ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.7

Riscrivi $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.8

Aggiungi le parentesi.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.13.9

Aggiungi le parentesi.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.14

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - ({(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.15

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.17

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.18

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.1.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

$- 2$ e $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{- 2 y}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $- y$ per $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Passaggio 5.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Passaggio 5.2.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Passaggio 5.2.8

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $- - \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Passaggio 5.2.9.2

Moltiplica $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ per $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Passaggio 5.2.10

Riordina i fattori in $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Passaggio 5.2.11

La risposta finale è $\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{y}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.8

Per scrivere $24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.9

$24$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.11

Moltiplica $24$ per $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.12.1

Moltiplica $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ per $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.12.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13

Riscrivi $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ come ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.13.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.2

Scomponi la potenza perfetta $4^{2}$ su $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.4

Riordina $- 1$ e ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.7

Riscrivi $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.8

Aggiungi le parentesi.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.9

Aggiungi le parentesi.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.14

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.15

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.17

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.18

$\frac{1}{4}$ e $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.1.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

$- 2$ e $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{- 2 y}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $- y$ per $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Passaggio 6.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Passaggio 6.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Passaggio 6.2.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Passaggio 6.2.8

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- - \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Passaggio 6.2.9.2

Moltiplica $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ per $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Passaggio 6.2.10

Riordina i fattori in $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Passaggio 6.2.11

La risposta finale è $\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

$y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Passaggio 8