Calcolo Esempi

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$27 - x^{3} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $27 - x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $27$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{3} = - 27$

Passaggio 1.2.2

Somma $27$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{3} + 27 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{3} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 27 = 0$

Passaggio 1.2.3.1.2

Riscrivi $27$ come $- 1 (- 27)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

Passaggio 1.2.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ .

$- (x^{3} - 27) = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.3.4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Passaggio 1.2.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Passaggio 1.2.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2

Riordina $27$ e $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 27$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $1$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $0$ da $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Passaggio 4.7

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

Passaggio 4.8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $3$ e per $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

Passaggio 4.8.2

Calcola $27 x$ per $3$ e per $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.4

Sottrai $1$ da $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.5

Elimina il fattore comune di $80$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.5.1

Scomponi $4$ da $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.5.2.4

Dividi $20$ per $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.6

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.7

Moltiplica $27$ per $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

Passaggio 4.8.3.8

Moltiplica $- 27$ per $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

Passaggio 4.8.3.9

Sottrai $27$ da $81$ .

$- 20 + 54$

Passaggio 4.8.3.10

Somma $- 20$ e $54$ .

$34$

Passaggio 5