Calcolo Esempi

$f (x) = 7 x^{9} (3 x^{2} - 12)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{9} (3 x^{2} - 12)$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{9} (3 x^{2} - 12)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{9} (3 x^{2} - 12)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 12$ .

$7 (x^{9} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12] + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$7 (x^{9} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (x^{9} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (x^{9} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$7 (x^{9} (6 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 (x^{9} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.3.6

Somma $6 x$ e $0$ .

$7 (x^{9} (6 x) + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x^{9}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta $x$ .

$7 (x \cdot x^{9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$7 (x^{1} x^{9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 (x^{1 + 9} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.4.3

Somma $1$ e $9$ .

$7 (x^{10} \cdot 6 + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.5

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{10}$ .

$7 (6 \cdot x^{10} + (3 x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$7 (6 x^{10} + (3 x^{2} - 12) (9 x^{8}))$

Passaggio 1.7

Sposta $9$ alla sinistra di $3 x^{2} - 12$ .

$7 (6 x^{10} + 9 \cdot (3 x^{2} - 12) x^{8})$

Passaggio 1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 (6 x^{10} + (9 (3 x^{2}) + 9 \cdot - 12) x^{8})$

Passaggio 1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$7 (6 x^{10} + 9 (3 x^{2}) x^{8} + 9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 (6 x^{10}) + 7 (9 (3 x^{2}) x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Moltiplica $6$ per $7$ .

$42 x^{10} + 7 (9 (3 x^{2}) x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.4.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$42 x^{10} + 7 (27 x^{2} x^{8}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.3.1

Sposta $x^{8}$ .

$42 x^{10} + 7 (27 (x^{8} x^{2})) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.4.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$42 x^{10} + 7 (27 x^{8 + 2}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.4.3.3

Somma $8$ e $2$ .

$42 x^{10} + 7 (27 x^{10}) + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.4.4

Moltiplica $27$ per $7$ .

$42 x^{10} + 189 x^{10} + 7 (9 \cdot - 12 x^{8})$

Passaggio 1.8.4.5

Moltiplica $9$ per $- 12$ .

$42 x^{10} + 189 x^{10} + 7 (- 108 x^{8})$

Passaggio 1.8.4.6

Moltiplica $- 108$ per $7$ .

$42 x^{10} + 189 x^{10} - 756 x^{8}$

Passaggio 1.8.4.7

Somma $42 x^{10}$ e $189 x^{10}$ .

$f' (x) = 231 x^{10} - 756 x^{8}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $231 x^{10} - 756 x^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [231 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [231 x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [231 x^{10}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $231$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $231 x^{10}$ rispetto a $x$ è $231 \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$231 \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$231 (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $10$ per $231$ .

$2310 x^{9} + \frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 756 x^{8}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 756$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 756 x^{8}$ rispetto a $x$ è $- 756 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$2310 x^{9} - 756 \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$2310 x^{9} - 756 (8 x^{7})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8$ per $- 756$ .

$f'' (x) = 2310 x^{9} - 6048 x^{7}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2310 x^{9} - 6048 x^{7}$ .

$2310 x^{9} - 6048 x^{7}$