Calcolo Esempi

$g (t) = {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{5}$ e $g (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{2} t^{2} - 3$ .

$5 {(\frac{1}{2} t^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t^{2} - 3]$

Passaggio 1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{t^{2}}{2} - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 1.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t^{2}}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 1.2.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 1.2.6.2

$\frac{2}{2}$ e $t$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 1.2.6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Elimina il fattore comune.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 1.2.6.3.2

Dividi $t$ per $1$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} (t + 0)$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Somma $t$ e $0$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$

Passaggio 1.2.8.2

Riordina i fattori di $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} t$ .

$f' (t) = 5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}] + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{t^{2}}{2} - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t^{2}}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.4.2

$\frac{2}{2}$ e $t$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.4.3.2

Dividi $t$ per $1$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + \frac{d}{d t} [- 3])) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (t + 0)) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.4.6

Somma $t$ e $0$ .

$5 (t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$5 (t^{1} t (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.6

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$5 (t^{1} t^{1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 (t^{1 + 1} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ per $1$ .

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}) + {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (t^{2} (4 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 (t^{2} ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3})) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Passaggio 2.11.3

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ da $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ da $20 t^{2} {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$

Passaggio 2.11.3.2

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ da $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{4}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$

Passaggio 2.11.3.3

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ da $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2}) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Passaggio 2.11.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Per scrivere $4 t^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (4 t^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Passaggio 2.11.4.2

$4 t^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2}{2} + \frac{t^{2}}{2} - 3)$

Passaggio 2.11.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{4 t^{2} \cdot 2 + t^{2}}{2} - 3)$

Passaggio 2.11.4.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{8 t^{2} + t^{2}}{2} - 3)$

Passaggio 2.11.4.5

Somma $8 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$f'' (t) = 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t^{2}}{2} - 3)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ e $g (t) = \frac{9 t^{2}}{2} - 3$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2} - 3] + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [\frac{9 t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{9}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{9 t^{2}}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

$2$ e $\frac{9}{2}$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 \cdot 9}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4.3

$\frac{18}{2}$ e $t$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{18 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4.4

Elimina il fattore comune di $18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.4.1

Scomponi $2$ da $18 t$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{2 (9 t)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (\frac{9 t}{1} + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4.4.2.4

Dividi $9 t$ per $1$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t + 0) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Somma $9 t$ e $0$ .

$5 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} (9 t) + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.3.6.2

Sposta $9$ alla sinistra di ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$5 (9 \cdot {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) \frac{d}{d t} [{(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = \frac{t^{2}}{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) (3 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3]))$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\frac{9 t^{2}}{2} - 3$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 \cdot (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2} - 3])$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{t^{2}}{2} - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 3.5.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t^{2}}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{1}{2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 3.5.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2}{2} t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 3.5.5.2

$\frac{2}{2}$ e $t$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 3.5.5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{2 t}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 3.5.5.3.2

Dividi $t$ per $1$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Passaggio 3.5.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (t + 0))$

Passaggio 3.5.7

Somma $t$ e $0$ .

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 3 (\frac{9 t^{2}}{2} - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + (3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (9 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $9$ per $5$ .

$45 ({(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t) + 5 ((3 \frac{9 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Passaggio 3.6.4

$3$ e $\frac{9 t^{2}}{2}$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{3 (9 t^{2})}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $9$ per $3$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} + 3 \cdot - 3) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Passaggio 3.6.6

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 ((\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t)$

Passaggio 3.6.7

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ da $45 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} t + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.7.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.7.1.1

Sposta ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$

Passaggio 3.6.7.1.2

Sposta ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.6.7.1.3

Sposta $\frac{27 t^{2}}{2} - 9$ .

$45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3} + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.6.7.2

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ da $45 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{3}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.6.7.3

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ da $5 t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9) {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.7.4

Scomponi $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t$ da $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{27 t^{2}}{2} - 9)$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.8

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.8.1

Per scrivere $9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot \frac{2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.8.2

$9 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2}{2} + \frac{27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{9 (\frac{t^{2}}{2} - 3) \cdot 2 + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.8.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.9

Riordina i fattori di $5 {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} t (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$ .

$5 t {(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2} (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.10

Riscrivi ${(\frac{t^{2}}{2} - 3)}^{2}$ come $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ .

$5 t ((\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.11

Espandi $(\frac{t^{2}}{2} - 3) (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} (\frac{t^{2}}{2} - 3) - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 t (\frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.12.1.1

Combina.

$5 t (\frac{t^{2} t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.12.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 t (\frac{t^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2}}{2} \cdot - 3 - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.4

$\frac{t^{2}}{2}$ e $- 3$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2} \cdot - 3}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + \frac{- 3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 \cdot t^{2}}{2} - 3 \frac{t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.7

$- 3$ e $\frac{t^{2}}{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} + \frac{- 3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} - 3 \cdot - 3) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.1.9

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - \frac{3 t^{2}}{2} - \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.12.2

Sottrai $\frac{3 t^{2}}{2}$ da $- \frac{3 t^{2}}{2}$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.13.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.13.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 (- 1) \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.13.1.2

Elimina il fattore comune.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{3 t^{2}}{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.13.1.3

Riscrivi l'espressione.

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 1 (3 t^{2}) + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.13.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 t (\frac{t^{4}}{4} - 3 t^{2} + 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.14

Applica la proprietà distributiva.

$(5 t \frac{t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.15.1

Moltiplica $5 t \frac{t^{4}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.15.1.1

$5$ e $\frac{t^{4}}{4}$ .

$(t \frac{5 t^{4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.15.1.2

$t$ e $\frac{5 t^{4}}{4}$ .

$(\frac{t (5 t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.15.1.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{5 (t^{1} t^{4})}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.15.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{5 t^{1 + 4}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.15.1.5

Somma $1$ e $4$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 t (- 3 t^{2}) + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.15.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 5 t \cdot 9) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.15.3

Moltiplica $9$ per $5$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t \cdot t^{2} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.16.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.16.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.16.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.16.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 (t^{2} t^{1}) + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.16.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{2 + 1} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.16.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} + 5 \cdot - 3 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.16.2

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.17.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.17.1.1

Scomponi $9$ da $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 27 t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.17.1.1.1

Scomponi $9$ da $18 (\frac{t^{2}}{2} - 3)$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 27 t^{2}}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.1.2

Scomponi $9$ da $27 t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.1.3

Scomponi $9$ da $9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3)) + 9 (3 t^{2})$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (\frac{t^{2}}{2} - 3) + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.17.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} + 2 \cdot - 3 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.4

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (t^{2} - 6 + 3 t^{2})}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.5

Somma $t^{2}$ e $3 t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (4 t^{2} - 6)}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.6

Scomponi $2$ da $4 t^{2} - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.17.1.6.1

Scomponi $2$ da $4 t^{2}$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) - 6)}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.6.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2}) + 2 (- 3))}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.6.3

Scomponi $2$ da $2 (2 t^{2}) + 2 (- 3)$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 \cdot 2 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.1.7

Moltiplica $9$ per $2$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{18 (2 t^{2} - 3)}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.2

Elimina il fattore comune di $18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.17.2.1

Scomponi $2$ da $18 (2 t^{2} - 3)$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2} - 9)$

Passaggio 3.6.17.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.17.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 (1)} - 9)$

Passaggio 3.6.17.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{2 (9 (2 t^{2} - 3))}{2 \cdot 1} - 9)$

Passaggio 3.6.17.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (\frac{9 (2 t^{2} - 3)}{1} - 9)$

Passaggio 3.6.17.2.2.4

Dividi $9 (2 t^{2} - 3)$ per $1$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2} - 3) - 9)$

Passaggio 3.6.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (9 (2 t^{2}) + 9 \cdot - 3 - 9)$

Passaggio 3.6.17.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} + 9 \cdot - 3 - 9)$

Passaggio 3.6.17.5

Moltiplica $9$ per $- 3$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 27 - 9)$

Passaggio 3.6.18

Sottrai $9$ da $- 27$ .

$(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$

Passaggio 3.6.19

Espandi $(\frac{5 t^{5}}{4} - 15 t^{3} + 45 t) (18 t^{2} - 36)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{5 t^{5}}{4} (18 t^{2}) + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$18 \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$2 (9) \frac{5 t^{5}}{4} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 9 \frac{5 t^{5}}{2 \cdot 2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.2.4

Riscrivi l'espressione.

$9 \frac{5 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.3

$9$ e $\frac{5 t^{5}}{2}$ .

$\frac{9 (5 t^{5})}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.4

Moltiplica $5$ per $9$ .

$\frac{45 t^{5}}{2} t^{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.5

Moltiplica $\frac{45 t^{5}}{2} t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.5.1

$\frac{45 t^{5}}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{5} t^{2}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.5.2

Moltiplica $t^{5}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.5.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{45 (t^{2} t^{5})}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{45 t^{2 + 5}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.5.2.3

Somma $2$ e $5$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot - 36 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.6.1

Scomponi $4$ da $- 36$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 (- 9)) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{45 t^{7}}{2} + \frac{5 t^{5}}{4} \cdot (4 \cdot - 9) - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{45 t^{7}}{2} + 5 t^{5} \cdot - 9 - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.7

Moltiplica $- 9$ per $5$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 t^{3} (18 t^{2}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{3} t^{2} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.9

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.9.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 (t^{2} t^{3}) - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.9.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{2 + 3} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.9.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 15 \cdot 18 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.10

Moltiplica $- 15$ per $18$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} - 15 t^{3} \cdot - 36 + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.11

Moltiplica $- 36$ per $- 15$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 t (18 t^{2}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.12

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t \cdot t^{2} + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.13

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.13.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.13.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.20.13.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 (t^{2} t^{1}) + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.13.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{2 + 1} + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.13.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 45 \cdot 18 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.14

Moltiplica $45$ per $18$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} + 45 t \cdot - 36$

Passaggio 3.6.20.15

Moltiplica $- 36$ per $45$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 45 t^{5} - 270 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

Passaggio 3.6.21

Sottrai $270 t^{5}$ da $- 45 t^{5}$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 540 t^{3} + 810 t^{3} - 1620 t$

Passaggio 3.6.22

Somma $540 t^{3}$ e $810 t^{3}$ .

$f''' (t) = \frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$

Passaggio 4

La derivata terza di $g (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$ .

$\frac{45 t^{7}}{2} - 315 t^{5} + 1350 t^{3} - 1620 t$