Calcolo Esempi

$f (x) = 6^{3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 6^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $6$ .

$6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6^{3 x} \ln (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6^{3 x} \ln (6) (3 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$6^{3 x} \ln (6) \cdot 3$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $6^{3 x} \ln (6)$ .

$f' (x) = 3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $3 \ln (6)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$ rispetto a $x$ è $3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ .

$3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 6^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$3 \ln (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $6$ .

$3 \ln (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$3 \ln (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.3

Eleva $\ln (6)$ alla potenza di $1$ .

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.4

Eleva $\ln (6)$ alla potenza di $1$ .

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (6^{3 x} {\ln (6)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$3 (6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \cdot 1$

Passaggio 2.10

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f'' (x) = 9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $9 \ln^{2} (6)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$ rispetto a $x$ è $9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ .

$9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 6^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$9 \ln^{2} (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $6$ .

$9 \ln^{2} (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$9 \ln^{2} (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.3

Eleva $\ln (6)$ alla potenza di $1$ .

$9 (6^{3 x} (\ln^{2} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 (6^{3 x} {\ln (6)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.5

Somma $2$ e $1$ .

$9 (6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \cdot 1$

Passaggio 3.9

Moltiplica $27$ per $1$ .

$f''' (x) = 27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6)$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$ .

$27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$