Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} - 7 e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} - 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$15 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 7 e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{2} - 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$30 x - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 30 x - 7 e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $30 x - 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30 x$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $30$ per $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$30 - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 30 - 7 e^{x}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Differenzia.

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Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $30 - 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - 7 e^{x}$

Passaggio 4.3

Sottrai $7 e^{x}$ da $0$ .

$f^{4} (x) = - 7 e^{x}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 7 e^{x}$ .

$- 7 e^{x}$