Calcolo Esempi

$x y + 7 e^{y} = 7 e$ , $x = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y + 7 e^{y}) = \frac{d}{d x} (7 e)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + 7 e^{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 e^{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 e^{y}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 e^{y}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 e^{y}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [7 e^{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 e^{y}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$x y' + y + 7 \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x y' + y + 7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x y' + y + 7 (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x y' + y + 7 (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y + 7 e^{y} y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$x y' + 7 e^{y} y' + y$

Passaggio 3

Poiché $7 e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + 7 e^{y} y' + y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $x y' + 7 e^{y} y' + y$ .

$x y' + 7 y' e^{y} + y = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 7 y' e^{y} = - y$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $x y' + 7 y' e^{y}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x + 7 y' e^{y} = - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $7 y' e^{y}$ .

$y' (x) + y' (7 e^{y}) = - y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (7 e^{y})$ .

$y' (x + 7 e^{y}) = - y$

Passaggio 5.4

Dividi per $x + 7 e^{y}$ ciascun termine in $y' (x + 7 e^{y}) = - y$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $x + 7 e^{y}$ ciascun termine in $y' (x + 7 e^{y}) = - y$ .

$\frac{y' (x + 7 e^{y})}{x + 7 e^{y}} = \frac{- y}{x + 7 e^{y}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 7 e^{y}$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 7 e^{y})}{x + 7 e^{y}} = \frac{- y}{x + 7 e^{y}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 7 e^{y}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x + 7 e^{y}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 7 e^{y}}$

Passaggio 7

Calcola con $x = 0$ e $y = 1$ .

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$- \frac{y}{(0) + 7 e^{y}}$

Passaggio 7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{1}{(0) + 7 e^{1}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica.

$- \frac{1}{0 + 7 e}$

Passaggio 7.3.2

Somma $0$ e $7 e$ .

$- \frac{1}{7 e}$