Calcolo Esempi

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$h (x)$ è continua su $[0, π]$ .

$h (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $h$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Passaggio 5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Passaggio 6

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 6.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Passaggio 6.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Passaggio 10

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\frac{u^{5}}{5}$ per $- 1$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Passaggio 11.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Passaggio 11.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Passaggio 11.2.4

Sottrai $\frac{1}{5}$ da $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Passaggio 11.2.5

$- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Passaggio 11.2.8

$6$ e $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Passaggio 11.2.9

Moltiplica $6$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Passaggio 12

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Passaggio 12.2

Somma $π$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Passaggio 13

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Passaggio 13.2

Sposta $5$ alla sinistra di $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Passaggio 14