Calcolo Esempi

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $g (t)$ è continua su $[2, 5]$ o no, calcola il dominio di $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{5 + t^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$5 + t^{2} \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $t$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$t^{2} \geq - 5$

Passaggio 1.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 1.3

Imposta il denominatore in $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi per $t$ .

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Passaggio 1.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 + t^{2}}$ come ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Semplifica.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Passaggio 1.4.3

Risolvi per $t$ .

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Passaggio 1.4.3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t^{2} = - 5$

Passaggio 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Passaggio 1.4.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Passaggio 1.4.3.3.1

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Passaggio 1.4.3.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (5)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Passaggio 1.4.3.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Passaggio 1.4.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.4.3.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = i \sqrt{5}$

Passaggio 1.4.3.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - i \sqrt{5}$

Passaggio 1.4.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Passaggio 1.5

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${t | t \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${t | t \in ℝ}$

Passaggio 2

$g (t)$ è continua su $[2, 5]$ .

$g (t)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $g$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Passaggio 5

Sia $u = 5 + t^{2}$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 5 + t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $2 t$ .

$2 t$

Passaggio 5.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Passaggio 5.3.2

Somma $5$ e $4$ .

$u_{lower} = 9$

Passaggio 5.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Passaggio 5.5.2

Somma $5$ e $25$ .

$u_{upper} = 30$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 8

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Passaggio 8.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Passaggio 8.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Passaggio 8.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Passaggio 8.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $30$ e per $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Passaggio 10.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Passaggio 10.2.4

Calcola l'esponente.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Passaggio 12

Sottrai $2$ da $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Passaggio 13

Applica la proprietà distributiva.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Passaggio 14

$\frac{1}{3}$ e $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 15.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Passaggio 16