Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 2$ e $y = - \frac{1}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.2.3

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{2} - 6$ .

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Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.4.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.8.1.1

Scomponi $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ da $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

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Passaggio 1.8.1.1.1

Scomponi $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ da $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.1.2

Scomponi $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ da $- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.1.3

Scomponi $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ da $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.4

Sottrai $5 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.5

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} - 12$ .

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Passaggio 1.8.1.5.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.5.2

Scomponi $3$ da $- 12$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.5.3

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.1.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 6)}^{4}$ e ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

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Passaggio 1.8.2.1

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{4}$ da $6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Passaggio 1.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.8.2.2.1

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{4}$ da ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.8.3

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.8.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.8.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.8.6

Riscrivi $- (x^{2} + 4)$ come $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.9

Calcola la derivata per $x = - 2$ .

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.10.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.10.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.10.1.2

Somma $4$ e $4$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.10.1.3

Moltiplica $8$ per $6$ .

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.10.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.10.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

Passaggio 1.10.2.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

Passaggio 1.10.2.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

Passaggio 1.10.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.10.3.1

Moltiplica $48$ per $- 8$ .

$- \frac{- 384}{64}$

Passaggio 1.10.3.2

Dividi $- 384$ per $64$ .

$- - 6$

Passaggio 1.10.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$6$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $6$ e un punto dato $(- 2, - \frac{1}{2})$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $6 \cdot (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$12$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $1$ da $24$ .

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

Passaggio 3