Calcolo Esempi

$y^{2} - x^{2} = 16$ ; $(2, 2 \sqrt{5})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 2 \sqrt{5}$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y y' - (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 y y' - 2 x$

Passaggio 1.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' - 2 x = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' = 2 x$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 2 x$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = 2 \sqrt{5}$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{2}{y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $2 \sqrt{5}$ nell'espressione.

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 1.7.5.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 1.7.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.7.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 1.7.5.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 1.7.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.7.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.7.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.7.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.7.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.7.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 1.7.5.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{\sqrt{5}}{5}$ e un punto dato $(2, 2 \sqrt{5})$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 \sqrt{5} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2.2

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ e $x$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2.3

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ e $- 2$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5} \cdot - 2}{5}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\sqrt{5}$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $2 \sqrt{5}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $2 \sqrt{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 2.3.2.3

$2 \sqrt{5}$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.6

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 10 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.3.2.7

Somma $- 2 \sqrt{5}$ e $10 \sqrt{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.3.2.8

Dividi la frazione $\frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$ in due frazioni.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 3