Calcolo Esempi

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{6}$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 + \csc (x)$ e $g (x) = 8 - \csc (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica.

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Passaggio 1.4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.4.5.2

Moltiplica $4 + \csc (x)$ per $1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.5

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.2

Moltiplica $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.2.2

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.2.3

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.2.4

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.5

Moltiplica $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 1.6.3.1.5.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.5.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.2

Combina i termini opposti in $- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Passaggio 1.6.3.2.1

Sottrai $\csc^{2} (x) \cot (x)$ da $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.2.2

Somma $- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.3.3

Sottrai $4 \csc (x) \cot (x)$ da $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 1.7

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{6}$ .

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.8.1.1

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{6})$ è $2$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Passaggio 1.8.1.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{6})$ è $\sqrt{3}$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $12$ per $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Passaggio 1.8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{6})$ è $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

Passaggio 1.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.8.2.3

Sottrai $2$ da $8$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

Passaggio 1.8.2.4

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

Passaggio 1.8.3

Elimina il fattore comune di $24$ e $36$ .

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Passaggio 1.8.3.1

Scomponi $12$ da $24 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

Passaggio 1.8.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.2.1

Scomponi $12$ da $36$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

Passaggio 1.8.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

Passaggio 1.8.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e un punto dato $(\frac{π}{6}, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.2.2

$x$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{6}$ nel numeratore.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Scomponi $2$ da $6$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.1.2.3.5

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2.3.6

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Moltiplica $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{- π}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2.5.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2.5.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

Passaggio 2.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Passaggio 2.3.3.3

Riordina i termini.

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Passaggio 2.3.3.4

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Passaggio 3